Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:
Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.
Диференцијална једначина Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:
Дефиниција Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:
где представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:
Родригезова формула Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:
Генерирајућа функција Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:
где
Рекурзија Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:
Неколико првих полинома је:
Израз за реални аргумент За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:
где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n
У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:
Ортогоналност Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:
Тежинска функција је била: . Они нису ортонормални, а за нормализацију:
Симетрија Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:
па је
Асимптотски изрази За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност Pn(α,β) за велики n дан је:
где
Асимптоте близу ±1 дане су са:
Веза са Вигнеровом d-матрицом Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:
Литература
Јакобијеви полиноми -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. }-
Категорија:Ортогонални полиноми Категорија:Специјалне функције