Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама.
Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:
и решење су једначине:
Лапласова једначина Лапласова једначина у сферним координатама има облик:
Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:
Сепарацијом варијабли добија се:
Множећи са и делећи са добија се:
односно добијају се две једначине:
Угаона једначина
може даље да се сепарира по две варијабле:
Одатле се добија:
тј. две једначине:
Решење прве једначине је:
Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено .
Коначно за угао добија се једначина:
Уведемо ли супституцију добија се: < односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми . Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ па добијамо:
Исто тако треба да се нормира и по другом углу , па се добија: .
Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:
Нека својства Сферни хармоници су ортогонални: . Задовољавају релацију потпуности:
Осим тога у случају трансформација вреди:
Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:
где су , and цели бројеви.
Адициона теорема Претпоставимо да су два јединична вектора и предстaвљена у сферним кординатама односно . Угао између два вектора је онда:
Адиционa теоремa за сферне хармонике је:
За случај када се ради о истом вектору добија се:
Развој по сферним хармоницима Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:
а коефицијенти су:
Табела неких сферних хармоника + Првих неколико сферних хармоника Ylm l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 m = -3 m = −2 m = −1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
Литература
-{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. .}- Сферни хармоници .
. . . . . . -{ E.W. Hobson, , Chelsea Pub. Co. . C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. . E. U. Condon and G. H. Shortley, , , See chapter 3. J.D. Jackson, , , volume II. Dover. .
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii , World Scientific Publishing Co., Singapore,
Категорија:Специјалне функције Категорија:Фуријеова анализа Категорија:Атомска физика Категорија:Хармонијска анализа Категорија:Парцијалне диференцијалне једначине