Апелов низ представља низ полинома, који задовољавају идентитет:
Добили су име по француском математичару Паулу Апелу. Поред тривијалнога примера { xn } у Апелов низ спадају између осталих Ермитеови полиноми, Лагерови полиноми, Бернулијеви полиноми и Ојлерови полиноми. Еквивалентни услови Постоји више еквиувалентних услова за Апелов низ: За n = 1, 2, 3, ..,
и p0(x) је константа различита од нуле; За неке низове {cn}n = 0, 1, 2, ... уз 'c0 ≠ 0,
За исте низове скалара,
где је
За n = 0, 1, 2, ..,
Рекурзија Претпоставимо
где последња једнакост дефинише линеарни оператор S на простору полинома по x. Нека је инверзни оператор:
Тада су ak реципрочни коефицијенти, тако да је
Може да се дефинише:
користећи уобичајен развој функције log(1 + x), па се добија:
Подгрупа Шеферових полинома Скуп свих Апелових низова затворен је за операције умбрал композиције низова полинома. Препоставимо да су задана два полиномна низа { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и да су дана са:
Онда је умбрал композиција p o q'' полиномни низ чији је n-ти члан дан са:
Шеферов низ је некомутативна група, тј није Абелова група. Међутим скуп свих Апелових низова је Абелова подгрупа Шиферове групе.
Литература
Апелови полиноми , Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2e série, tome 9, 1880 -{Steven Roman and Gian-Carlo Rota, , Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, }- -{G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, . Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975}- -{Steven Roman, The Umbral Calculus. Dover Publications}- Theodore Seio Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach,
Категорија:Полиноми