Парадокс дечака или девојчице окружује низ питања у теорији вероватноће која су такође позната као Ту Чајлд Проблем, Мистер Смит'с чилдрен и Мисис Смит Проблем. Почетна формулација питања датира од најмање 1959, када је Мартин Гарднер објавио једну од првих варијанти парадокса у часопису Scientific American. Наслов Проблем два детета , он је формулисао парадокс на следећи начин: Господин Џонс има двоје деце. Старије дете је девојчица. Која је вероватноћа да су оба детета девојчице? Господин Смит има два детета. Бар једно од њих је дечак. Која је вероватноћа да су оба детета дечаци? Гарднер је првобитно дао одговоре 1/2 и 1/3; али је касније признао да је друго питање било двосмислено. Његов одговор може да буде 1/2, у зависности од тога како сте сазнали да је једно дете дечак. Двосмисленост, зависно од тачне формулације и могућих претпоставки, потврдили су Бар-Хилел и Фолк, и Никерсон.
Друге варијанте овог питања, са различитим степеном двосмислености, су недавно популаризовали Аск Мерилин у Перед Магазин, Џон Тирни у Њујорк Тајмс, Леонард Млодинов у Дранкардс Волк. Једна студија је показала да када су пренете идентичне информације, али са делимично различитим двосмислених садржајем који истиче различите тачке, да се проценат МБА студената који је одговорио 1/2 променио од 85% до 39%.
Парадокс је често стимулисо много контроверзи. Многи људи се слажу за обе стране са великом дозом самопоуздања, понекад показују презир према онима који имају супротни став. Парадокс потиче од тога да ли је проблем подешавања сличан за два питања. Интуитивно одговор је 1/2. Овај одговор је интуитиван, ако је питање води читаоца да верује да постоје две подједнако вероватне могућности за пол другог детета (тј, дечак и девојчица),и да је вероватноћа ових резултата апсолутна, а не условна.
Заједничке претпоставке Два могућа одговора деле бројне претпоставке. Прво, претпоставља се да се простор свих могућих догађаја може лако избројати, пружајући екстензионалну дефиницију исхода: {ББ, БГ, ГБ, ГГ}. Овај податак указује на то да постоје четири могуће комбинације деце, називајући дечаке Б и девојчице Г, и користећи прво слово за представљање старијег дете. Друго, претпоставља се да су ови резултати подједнако вероватни.То подразумева следећи модел, Бернули процес са: Свако дете је или мушко или женско. Свако дете има исте шансе да буде мушко или да буде женско. Пол сваког детета је независан од пола другог. Математички исход би био исти ако су формулисани у смислу бацања новчића.
Прво питање Господин Џонс има два детета. Старије дете је девојчица. Која је вероватноћа да су оба детета девојчице? Под поменутим претпоставкама, у овом проблему, случајна породица је изабрана. У овом узорку простору, постоји четири подједнако вероватних догађаја: Старије дете Млађе детеДевојчицаДевојчицаДевојчицаДечак ДечакДевојчицаДечакДечак Само два од ових могућих догађаја испуњавају критеријуме наведене у питању (тј, ГГ, ГБ). Будући да обе од две могућности у новом простору узорка {ГГ, ГБ} су подједнако вероватне, а само једна од њих две, Г. Г., укључује две девојчице, вероватноћа да је млађе дете такође девојчица је 1/2.
Друго питање Господин Смит има два детета. Бар једно од њих је дечак. Која је вероватноћа да су оба детета дечаци? Ово питање је идентично питању један, осим што је уместо навођења да је старије дете дечак, наведено да је бар једно од њих дечак. У одговору на читалачке критике на питање које је постављено 1959. године, Гарднер се сложио да је прецизна формулација питања од кључног значаја за добијање различитих одговора на питање 1. и 2. Конкретно, Гарднер тврди да би "неуспех прецизирања случајне процедуре " могао навести читаоце да тумаче питање на два различита начина: Од свих породица са двоје деце, најмање једно од њих је дечак, породица је изабрана насумце. То би дало одговор 1/3. Од свих породица са двоје деце, једно дете је изабрано насумице и пол тог детета је наведен да је дечак. То би дало одговор 1/2
Гринстед и Снел тврде да је питање двосмислено на исти начин који је учинио Гарднер.
На пример, ако видите децу у башти, можете видети дечака. Друго дете може бити скривено иза дрвета. У том случају, изјава је еквивалентна другој (дете које видите је дечак). Прва изјава не одговара да је у једном случају један дечак, једна девојчица. Онда девојчица може бити видљива. (Прво саопштење наводи да то могу бити обоје.)
Иако је сигурно тачно да сваки могући господин Смит има најмање једног дечака (тј. услов је потребан) није јасно да је сваки господин Смит са најмање једним дечаком намењен. Проблем изјаве не каже да је имајући дечака довољан услов за господина Смита да се идентификује као да има дечака на овај начин.
Коментаришући Гарднерову верзију проблема, Бар-Хилел и Фолк напомињу да је "господин Смит, за разлику од читаоца, вероватно свестан пола оба његова детета приликом доношења ове изјаве", односно да "Имам двоје деце и најмање једно од њих је дечак." Уколико се и даље претпоставља да ће господин Смит пријавите ову чињеницу ако је то истина онда је тачан одговор 1/3 као што је Гарднер сматрао.
Анализа двосмисленост Ако се претпостави да је ова информација добијена гледањем оба детета да се види да ли постоји бар један дечак, услов је неопходан и довољан. Три од четири подједнако вероватне могућности за породицу са два детета у узорку простора изнад испуњеног услова, као у овој табели: Старије детеМлађе детеДевојчицаДевојчицаДевојчицаДечакДечакДевојчицаДечакДечак Стога, ако се претпостави да су оба детета размотрена приликом потраге за дечаком, одговор на питање 2 је 1/3. Међутим, ако је први пут изабрана породица и онда случајно, истинита тврдња је донесена о полу једног детета у тој породици, без обзира да ли су оба размотрена, исправан начин да се израчуна условна вероватноћа није да рачунају сви случајеви који укључују дете тог пола. Уместо тога, морају се узети у обзир само вероватноће где ће изјава бити направљена у сваком случају. Дакле, ако АЛОБ представља догађај где је изјава "најмање један дечак", и АЛОГ представља догађај где је изјава "најмање једна девојчица", онда ова табела описује узорак простора: Старије детеМлађе детеВ(ове породице)В(АЛОБ дат овој породици)В(АЛОГ дат овој породици)В(АЛОБ и ова породица)В(АЛОГ и ова породица)ДевојчицаДевојчица1/40101/4ДевојчицаДечак1/41/21/21/81/8ДечакДевојчица1/41/21/21/81/8ДечакДечак1/4101/40 Дакле, ако Вам је речено да је најмање један дечак када је чињеница случајно изабрана, вероватноћа да су оба дечака је P(ALOB and BB)/P(ALOB) = (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2.
Парадокс настаје када се не зна како је саопштење "најмање један је дечак" генерисано. Или одговор може бити тачно, на основу онога што се претпоставља. Међутим, "1/3" одговор се добија само уз претпоставку P(ALOB|BG)=P(ALOB|GB)=1, што имплицира P(ALOG|BG)=P(ALOG|GB)=0. Као што Маркс и Смит кажу, "Ова екстремна претпоставка није никада укључена у презентацији проблема с два детета, међутим, сигурно није оно што људи имају на уму када су га представили."
Бајесова анализа Следећи аргументе класичне вероватноће, разматрамо велики кош који садржи двоје деце. Претпостављамо једнаком вероватноћом да је или дечак или девојчица. Три видљива случаја су ова: 1. оба су девојчице (GG) — са вероватноћом P(GG) = 0.25, 2. оба су дечаци (BB) — са вероватноћом P(BB) = 0.25, и 3. један од сваког (G.B) — са вероватноћом P(G.B) = 0.50. Ово су претходне вероватноће.
Сада смо додали додатну претпоставку да "најмање један је дечак" = Б. Помоћу Бајесове теореме, налазимо
P(BB|B) = P(B|BB) · P(BB) / P(B) = 1 · 1/4 / 3/4 = 1/3.
где P(A|B) представља "вероватноћа A одређена B". P(B|BB) = вероватноћа најмање једног дечака имајући у виду да су обојица дечаци = 1. P(BB) = вероватноћа да су обојица дечаци = 1/4 из претходне дистрибуције. P(B) = вероватноћа најмање једног дечака, који укључује случајеве BB и G.B = 1/4 + 1/2 = 3/4.
Имајте на уму да, иако природна претпоставка изгледа да је вероватноћа 1/2, тако да добијене вредности од 1/3 изгледају ниско, актуелна "нормална" вредност за P(ВВ) је 1/4, тако да је 1/3 заправо мало већа.
Парадокс настаје због тога што је Друга претпоставка донекле вештачка, а када описује проблем у стварном окружењу ствари се мало лепљива. Колико знамо да је "најмање" је један дечак? Један опис проблема наводи да гледамо у прозор, видим само једно дете, а то је дечак. Ово звучи као исте претпоставке. Међутим, ово је еквивалентно "узорковања" дистрибуције (тј уклањање једно дете из урне, утврђивања да је дечак, онда замене). Назовимо изјава "узорак је дечак" предлог "Б". Сада имамо:
P(BB|b) = P(b|BB) · P(BB) / P(b) = 1 · 1/4 / 1/2 = 1/2.
Разлика је P(b), која је само вероватноћа цртања дечака из свих могућих случајева (тј. без "најмање"), која је очигледно 0.5.
Бајесова анализа лако генерализује предмет у коме смо претпоставили 50/50 становништва. Ако немамо податке о становништву онда претпоставимо да је "први стан", односно н P(GG) = P(BB) = P(G.B) = 1/3. У овом случају претпоставка "најмање" даје резултат P(BB|B) = 1/2, а претпоставка узорка даје P(BB|b) = 2/3, резултат је изводљив из Рул оф Саксешн.
Претпоставимо да сте опкладили да је господин Смит имао два дечака, а добила фер шансе. Платили сте 1$ и добићете 4$ ако има два сина. Ми гледамо на ваше опкладе као на инвестицију која ће повећати вредности као када добра вест стиже. Који докази би Вас учинили срећнијим због ваше инвестиције? Учење да је најмање једно дете од два детета дечак, или учење да је најмање једно дете од једног дечак?
Писмо је унапред мање вероватно, а самим тим боље су вести. То је разлог зашто два одговора не могу бити иста.
Сада за бројеве. Ако се кладимо на једно дете и победимо, вредност инвестиције је удвостручена. Мора се поново удвостручити до 4$, тако да су шансе 1 и 2.
С друге стране, ако смо сазнали да је најмање једно од двоје деце дечак, наша инвестиција се повећава, као да смо зарадили на овом питању. Наш један долар сада вреди 4/3$. Да бисмо дошли до 4$ ипак морамо да повећамо наше богатство троструко. Дакле, одговор је 1 у 3.
Комбинације питања Након популаризације Гарднеровог парадокса он је представљен и дискутован у различитим облицима. Прва варијанта представљена од стране Бар-Хилела и Фолка гласи: Господин Смит је отац двоје деце. Срећемо га како хода улицом са дечаком кога са поносом представља као свог сина. Колика је вероватноћа да је гдруго дете осподина Смита такође дечак?
Бар-Хилел и Фолк користе ову варијанту да истакну значај с обзиром на основне претпоставке. Интуитивно одговор је 1/2 и, приликом доношења најприродније претпоставке, то је тачно. Међутим, неко може тврдити да "... пре него што је господин Смит идентификује дечака као свог сина, знамо само да је или отац два дечака, ББ, или две девојчице, ГГ, или једног од сваког по било редоследу рођења, тј. БГ или ГБ. Под претпоставком поновне независности, почињемо са вероватноћом од 1/4 да је Смит отац два дечака. Откривање да има најмање једног дечака искључује догађаја ГГ. Обзиром да су остала три догађаја независна, добијамо вероватноћу 1/3 за ББ.
Природна претпоставка је да господин Смит изабрао дете сапутника насумице. Ако је тако, како комбинација ББ има двоструку вероватноћу или БГ или ГБ који су довели до тога да је дечак пратилац (и комбинација ГГ има нулту вероватноћу), синдикат догађаја БГ и ГБ постаје независтан од догађаја ББ, тако да је шанса да је друго дете такође дечак 1/2. Бар-Хилел и Фолк, међутим, указују на алтернативни сценарио. Они замишљају културу у којој су дечаци увек изабрани над девојчицама као пратиоци. У том случају, комбинације ББ, БГ и ГБ су претпостављене као подједнако вероватне да резултирају из дечака сапутника, а самим тим и вероватноћа да је друго дете такође дечак је 1/3.