Стрелов однос, скр. С (), или Стрелов количник, је један од најчешће коришћених оптичких појмова у како професионалним тако и аматерским круговима. Он представља најједноставнији начин изражавања ефекта оптичких аберација на квалитет оптичке слике. Другим речима, Стрелов однос показује ниво каквоће слике у присуству аберација таласног фронта.
Дефиниција
thumb|СТРЕЛ РАЦИО По дефиницији, Стрелов однос - назван по немачком физичару, математичару и астроному др. Карлу Стрелу (Carl Strehl) крајем 19. века - је однос јачине зрачења средишта физичке, или дифракционе слике тачке са, и без аберација (слика десно).
Пошто је јачина зрачења средишњег врха слике тачке збир таласа који долазе из сваке тачке излазног оптичког отвора, Стреллов однос је математички описан дифракционим интегралом. У најједноставнијем облику, Стрелов однос за кружни оптички отвор је дат са:
........ (1)
где су VA и V0 врх у отвору са аберацијама и без њих, i је имагинарни број i=(-1)0,5, и Φ(p) је фазна грешка таласа у тачки отвора p, која одређује амплитуду коју овај талас доприноси средишњем врху (фазна грешка Ф је непосредно повезана са грешком таласног фронта Т, израженог у јединици таласне дужине светлости λ, кроз Ф=2πТ у радијанима).
За Ф(p)=0 у свакој тачки таласног фронта (тј. у одсуству аберација), exp[iΦ(p)]=exp(0)=1, тј. допринос таласне амплитуде је највиши могући. Због изобличења таласног фронта изазваног аберацијом, збир доприноса амплитуда са целе површине отвора (бројилац разломка) је увек мањи него у случају савршеног отвора (именилац), јер је exp[iΦ(p)] за Ф≠0 увек мање од један.
На другој страни, ако је ефективна збирна фазна грешка за све тачке једнака половини фазе, тј. π радијана, збирна таласна амплтуда у средишту слике тачке - као и вредност Стреловог односа - је нула.
У складу са овим, Стрелов однос се креће у распону од 1, за савршен оптички отвор, до нуле, кад у средишу дифракционе слике тачке нема енергије.
Ако се фазна грешка таласног фронта појединих тачака у оптичком отвору Ф(p) замени статистичким просеком фазне грешке за целу површину отвора φ=2πω, где је ω статистичка девијација, тј. РМС грешка таласног фронта, интеграл под један се своди на:
S = |<exp(iφ)>|2 (2)
где величина <exp(iφ)> изражава просечну амплитуду таласа за целу површину оптичког отвора, у јединици пуне амплитуде, тј. амплитуде савршеног оптичког отвора. Напомена да exp(x) означава основу природног логаритма е=2,71828... под изложиоцем (експонентом) "x".
Употреба
Стрелов однос се користи како за оцену нивоа каквоће оптичке слике у току стварања нацрта оптичких склопова, тако и као мерило каквоће оптичке слике произведених оптичких инструмената. У првом случају ради се о рачунској вредности заснованој на претпоставци савршено произведених оптичких површина, док је у другом случају у питању измерена вредност проистекла из својстава стварних (несавршених) оптичких површина.
Стрелов однос се користи за изражавање дејства најразличитијих аберација на каквоћу оптичке слике, укључујући коничне аберације, аберације грешака положаја оптичких елемената, аберације температурне неуједначености ваздуха, аберације изобличења оптичких површина, и других.
Стрел за "oграничен дифракцијом" ниво
Између осталог, Стрелов однос се користи за изражавање највишег прихватљивог нивоа аберација - тзв. "ограничен дифракцијом" нивоа - са вредношћу Стреловог броја од 0,80 (што значи да је пун распон "ограничен дифракцијом" нивоа 0,80-1,00 Стрел). Пошто је ова вредност Стрел рациа заснована на РМС грешки таласног фронта од 0,074λ, или λ/13,4, која је довољно ниска да производи практично исту висину средишњег врха слике тачке независно од облика изобличења таласног фронта, она представља најнижу прихватљиву границу "ограничен дифракцијом" нивоа за све врсте аберација.
Ниво од 0,80 Стрел није линија која јасно раздваја високу од ниже каквоће слике, јер између, на пример, 0,79 и 0,81 Стрел, разлика у оштрини слике - мало преко 2% - је сувише мала да би је људско око приметило.
Такође, потребан ниво каквоће оптичке слике зависи од намене оптичког инструмента. Док се 0,80 Стрел сматра приближном доњом границом каквоће слике оптичких телескопа за општу употребу, у случају инструмената за посебне намене доња граница каквоће може да буде битно виша (на пример, за коронографе, или за телескопе намењене проналажењу планета око других звезда, најнижи потребан ниво је око 0,90, а може бити и преко 0,99).
Стрел као мерило каквоће слике аматерских телескопа
У случају аматерских (тј. са релатвно малим отвором) оптичких телескопа за општу употребу, сврставање по квалитету оптичке слике на основу Стрел рација је, донекле произвољно (јер такође зависи од основне намене, као и од величине отвора, присуства и величине средишњег заклона, оштрине вида кориснка, атмосферских услова, итд.), приказано у доњој табели.
НИВО КАКВОЋЕ ОПТИЧКЕ СЛИКЕ СТРЕЛОВ ОДНОС ОДГОВАРАЈУЋИ НИВО СФЕРНЕ АБЕРАЦИЈЕ (В-Д*/РМС, за јединицу таласне дужине светлости λ) САВРШЕН ЗА ОКО 1 - 0,95 0 - 0,12 / 0,036 ВРЛО ВИСОК 0,95 - 0,90 0,12 / 0,036 - 0,172 / 0,051 ВИСОК 0,90 - 0,80 0,172 / 0,051 - 0,25 / 0,074 ОСРЕДЊИ 0,80 - 0,70 0,25 / 0,074 - 0,317 / 0,094 НИЗАК 0,7 - 0,6 0,317 / 0,094 - 0,38 / 0,11 ЛОШ испод 0.6 испод 0,38 / 0,11
(В-Д је скраћеница за врх-дно грешка таласног фронта, тј. збир највећих одступања од савршеног сферног облика са обе стране савршене поредбене сфере)
Својства
Пошто је заснован на дифракцији светлости, тј. на стварној, физичкој оптичкој слици, Стрелов однос је поузданији показатељ њене каквоће него геометријске слике аберација, врх-дно грешка таласног фронта, или чак и сама РМС грешка таласног фронта. Док је овај последњи показатељ поуздан у случају ниског до умерено високог нивоа аберација (не знатно веће од 0.15λ), при вишим нивоима аберација фокус са најнижом РМС грешком се често не поклапа са жижом у ком је Стрел највиши, тј. најбољом или дифракционом жижом. И док је у таквом случају ширење енергије слике тачке често мање - тј. слика боља - у тачки фокуса са најнижом РМС грешком таласног фронта, ни Стрел ни РМС грешка нису више поуздани показатељи каквоће оптичке слике.
thumb|СТРЕЛОВ ОДНОС У ФОКУСУ ПРИМАРНЕ АБЕРАЦИЈЕ, И У ФОКУСУ АБЕРАЦИЈЕ СА НАЈМАЊОМ РМС ГРЕШКОМ ТАЛАСНОГ ФРОНТА ЗА СФЕРНУ АБЕРАЦИЈУ, КОМУ И АСТИГМАТИЗАМ Слика десно приказује Стрелов однос у зависности од РМС грешке таласног фронта за три класичне аберације: сферну, кому и астигматизам. Класичне, или примарне аберације су аберације присутне у параксијалној жижи, тј. жижи средишњих зрака оптичког отвора. Овај фокус, међутим, није место где је слика тачке најбоља. За ниво аберација до око 0,15λ РМС, најбољи фокус је фокус где је РМС грешка таласног фронта најмања, и он се поклапа са дифракционим фокусом у ком је Стрелов однос највиши.
Као што је на графиконима назначено, РМС грешка у овом фокусу је мања четири пута у случају сферне аберације, три пута у случају коме, и (1,5)0.5 пута у случају астигматизма (РМС грешка на водоравној скали је за фокусе са најнижом РМС грешком, за које су графкони Стреловог односа испрекидане линије).
Упркос томе, за нивое аберација у фокусу са најнижом РМС грешком знатно преко 0,15λ, разлика у Стреловом односу између примарне аберације и аберације са најнижом РМС грешком је или много мања него за низак ниво аберација (у случају сферне аберације), или је Стрел чак виши за примарну аберацију (кома, астигматизам).
Граница употребљивости Стреловог односа
Ово значи да је употребљивост Стреловог односа као показатеља каквоће оптичке слике ограничена на сразмерно низак ниво аберација, за РМС грешке мање од око 0.15λ. У овом распону, Стрелов однос је приближно једнак релативном садржају енергије унутар Ери диска, у односу на садржај у савршеном оптичком отвору.
thumb|ДЕЈСТВО ДЕФОКУСА НА ВРХ ФУНКЦИЈЕ ШИРЕЊА ТАЧКЕ Треба напоменути да Стрелов однос који је једнак нули није неопходно последица изузетно високог нивоа аберација, него међудејства таласа за дати облик изобличења таласног фронта. На пример, В-Д грешка таласног фронта од 1λ, 2λ, 3λ... дефокуса узрокује пад средишњег врха - и Стреловог односа - на нулу, док је на нивоу од 1,5λ Стрелов однос 0,045, на нивоу од 2,5λ 0,016, итд (слика десно).
У начелу, за висок ниво аберација Стрелов однос није сразмеран величини аберације; због тога су у тим случајевима боља мерила каквоће оптичке слике заокружена енергија или функција оптичког преноса.
Стрелов однос и функција оптичког преноса
Стрелов однос је повезан са функцијом оптичког преноса, тачније са функцијом преноса висине (ФПВ), тако што је површина испод линије преноса висине сигнала, у односу на површину ФПВ савршеног оптичког отвора, сразмерна Стреловом односу(за радијално симетричне аберације, као сферна или дефокус; за несиметричне аберације као кома и астигматизам, Стрел је сразмеран запремини тродимензионалне ФПВ у односу на запремину ФПВ савршеног оптичког отвора.
thumb|ВЕЗА ФУНКЦИЈЕ ПРЕНОСА ВИСИНЕ И СТРЕЛОВОГ ОДНОСА Ово значи да Стрелов однос може да се изрази кроз функцију оптичког преноса, тј. функцију преноса висине (ФПВ), као С=ПФПВ(н)/ПФПВ(с) за радијално симетричне аберације, и С=ЗФПВ(н)/ЗФПВ(с) за несиметричне аберације, где П и З означавају површину и запремину функцје преноса висине, а "н" и "с" несавршен и савршен оптички отвор, у том редоследу. Слика десно приказује функцију преноса висине за савршен и за несавршен оптички отвор (0.15λ РМС грешка таласног фронта), за једну оријентацију слике тачке (лево) и за све оријентације унутар круга од 360 степени (десно).
Стрел апроксимације
У изворном облику, вредност Стреловог односа је одређена међудејством таласа светлости у средишњој тачки дифракционе (физичке) слике тачке, и стога захтева примену подобног облика дифракционог интеграла. Међутим, за низак ниво аберација приближно тачна вредност односа може се добити из једноставних израза, заснованим на РМС грешци таласног фронта.
По Ојлеровој једначини комплексног броја z = x+iy = |z|(cosA+isinA) = |z|exp(iA), једначина (2) за Стрелов однос може се написати као:
S = <cosφ>2+<sinφ>2 ≥ <cosφ>2 (3)
Другим речима, за ниске вредности стандардног фазног одступања φ, одступање вредности дате са <cosφ>2 од тачне вредности Стреловог односа је врло мало или занемарљиво.
Maréchal
Проширењем <cosφ>2 у бескрајну серију, cos(x) = 1 - (1/2!)x2 + (1/4!)x4 - (1/6!)x6 +..., и задржавајући само прва два члана, долази се до Марешалове (André Maréchal, француски научник) апроксимације:
S ~ (1-0.5φ2)2 (4)
где је стандардно фазно одступање φ=2πω, и ω је РМС грешка таласног фронта.
Nijboer
Ако се у степенованом изразу [1-2(πω)2]2 = 1-4(πω)2+4(πω)4 занемари последњи члан, долази се до Ниборове (Ben Nijboer, дански физичар) апроксимације:
S ~ 1-(2πω)2 (5)
Mahajan
Најтачнији резултат у ширем распону РМС грешке таласног фронта даје Махаџанов (Virendra Mahajan, амерички научник) израз (такође познат као "проширена Марешалова апроксимација", енг. extended Maréchal's approximation), који је за РМС/λ=ω (tј. ω означава РМС грешку таласног фронта у јединицама таласне дужине светлости λ), дат као:
........ (6)
где exp(x), као раније, означава основу природног логаритма е=2,7218... под изложиоцем (експонентом) "x". Разлика је занемарљива за грешке мање од 0.1λ РМС, без обзира на врсту аберације.
Косинусна апроксимација
Приближно толико тачна као претходна, мада ретко помињана, је апроксимација заснована непосредно на квадрату косинуса фазне разлике φ (израз 3):
S ~ <cosφ>2 = cos2(2πω) = cos2(360ω) (7)
где је угао фазне разлике у последњем изразу у степенима, а у претходном у радијанима.
Графикон апроксимација
thumb|АПРОКСИМАЦИЈЕ СТРЕЛОВОГ ОДНОСА Слика десно приказује ове три апроксимације у поређењу са тачном вредношћу Стреловог односа за примарну сферну аберацију. За грешке до 0,25λ РМС, разлика Махаџанове апроксимације (6) је испод 10%, и достиже 10% тек ~0,3λ РМС, у поређењу са тачном вредношћу за примарну сферну аберацију (одступање је навише за РМС грешке испод ω~0,25λ, а наниже за веће РМС грешке).