right|мини|283x283px|Пример осам случајних шетњи у једној димензији са почетком у 0. Парцела показује тренутну позицију на линији (вертикалне осе) у односу на временске интервале (хоризонтална оса).
Случајна шетња (случајни ход) је математичка формализација пута који се састоји од низа случајних корака. На пример, путања праћења молекула као што путује у течност или гас, за претрагу пута сакупљањем животиње, цена једне променљиве акције и финансијски статус коцкара могу се моделирати као случајне шетње, иако то не може бити истински случајно у стварности. Термин случајног хода је први пут уведео Карл Пеарсон 1905.Pearson, K. Случајне шетње су коришћене у многим областима: екологија, економија, психологија, информатика, физика, хемија, и биологија.Van Kampen N. G., Stochastic Processes in Physics and Chemistry, revised and enlarged edition (North-Holland, Amsterdam) 1992.Redner S., A Guide to First-Passage Process (Cambridge University Press. Cambridge, UK) 2001.Goel N. W. and Richter-Dyn N., Stochastic Models in Biology (Academic Press, New York) 1974.Doi M. and Edwards S. F., The Theory of Polymer Dynamics (Clarendon Press, Oxford) 1986De Gennes P. G., Scaling Concepts in Polymer Physics (Cornell University Press, Ithaca and London) 1979.Risken H., The Fokker–Planck Equation (Springer, Berlin) 1984.Weiss, George H. (1994), , Random Materials and Processes., Amsterdam. , MR 1280031.Cox D. R., Renewal Theory (Methuen, London) 1962. Случајне шетње објашњавају уочена понашања многих процеса у овим областима, и на тај начин служе као темељни модел за снимљене стокестик активности.
Различити типови случајних шетњи су од интереса. Често се претпоставља да су Марковљеви ланци или Марковљеви процеси, али и друге, много компликованије шетње су такође од интереса. Неке слободне шетње су на графиконима, друге на линијама, у авиону, у вишим димензијама, или чак заобљеним површинама, док су неке случајне шетње у групама. Слободне шетње такође варирају у односу на временски параметар. Често је шетња у дискретном времену, а потиче из природних бројева, као у к_0, к_1, X_2, \ дотс. Међутим, неке шетње праве своје кораке у случајним размацима, а у том случају положај X_т је дефинисана за бесконачно време т \ ге 0. Одређени случајеви или границе случајних шетњи укључују Леви лет. Случајне шетње су везане за моделе дифузије и представљају основну тему дискусија Марковог рада. Неколико својстава случајних шетњи, укључујући и распростирање дистрибуције, први пролаза времена и сусрет стопа, су интензивно проучавани.
Решетке случајне шетње Популарни модел случајне шетње је случајна шетња на регуларној решетки, где на сваком кораку локација скаче на друго место, према неким вероватноћама расподеле. У принципу случајне шетње, локација може да скочи само са суседних места решетке, формирајући пут решетке. У једноставној симетричној случајној шетњи на локалном нивоу коначне решетке, вероватноћа за локацију скоковима на сваки његови најближи сусед је иста. Најбољи пример је проучавање случајне шетње на д-димензионални целим решеткама (понекад се назива хиперцубиц решетке) \ матхбб З ^ ум.
Једно димензијална слободна шетња Основни пример случајне шетње је случајна шетња на цео број линије, \ матхбб З, који почиње у 0 и на сваком кораку креће +1 или -1 са истом вероватноћом.
Ова шетња може се илустровати на следећи начин. Маркер је постављен на нулу на број линије и кованица је преврнута. Ако падне на главу, маркер се помера једну јединицу са десне стране. Ако падне на репове, маркер се помера једну јединицу са леве стране. Након пет бацања, маркер може сада бити на 1, -1, 3, -3, 5 или -5. Са пет бацања, три главе и два репа, у било ком редоследу ће слетети на 1. Постоји 10 начина за слетање на 1 (окретањем три главе и два репа), 10 начина слетања на -1 (окретањем три репа и две главе), 5 начини слетања на 3 (окретањем четири главе и један реп), 5 начине слетања на -3 (окретањем четири репа и једна глава), 1 пут слетању на 5 (окретањем пет глава), и 1 начин слетању на -5 (окретањем пет репа). Погледајте слику испод за илустрацију могућих исхода од 5 окрета.
centre|мини|800x800px|Сви могући исходи случајних шетњи након 5 бацања новчића right|мини|321x321px|Случајна шетња у две димензије (анимирана везрија) right|мини|280x280px|Случајна шетња у две димензије са 25 хиљада корака (анимирана верзија) right|мини|280x280px|Случајна шетња је дводимензионална са два милиона мањих корака. Ова слика је направљена на такав начин да тачке које су чешће обојене су тамније. У границама, за веома мале кораке, добија се Брауново кретање. Да бисмо формално дефинисали ову шетњу, узимамо независне случајне променљиве , где је свака променљива 1 или -1, са вероватноћом за обе вредности 50% и поставимо и Серија се зове једноставно случајна шетња . Ова серија (збир секвенци од −1s до 1s) даје удаљеност шетње, ако је сваки део шетње дужина једног. Очекивано од је нула. То јест, средња вредност свих бачених новчића приближава се нули како се број бацања повећава. Ово следи од коначних додатака имовине очекивања:
Слична рачуница, користећи независност случајних променљивих и чињеница да , показује да:
То наговештава да , очекивани превод растојања након н корака, треба да буде реда. На пример,Random Walk-1-Dimensional - from Wolfram MathWorld
Овај резултат показује да је дифузија неефикасна за мешање због начина на који се квадратни корен понаша за велико .
Колико пута ће случајна шетња да пређе граничну линију уколико је дозвољено да настави шетњу заувек? Једноставна случајна шетња по \ матхбб З ће прећи сваку тачку неограничен број пута. Овај резултат има много имена: Ниво прелаз феномен, понављање или пропаст коцкар је. Разлог за презиме гласи: коцкар са ограниченом количином новца ће на крају изгубити када играју фер утакмицу против једне банке са бесконачним количином новца. Новац коцкара ће обављати случајну шетњу, а то ће достићи нулу у неком тренутку, и игра ће бити готова.
Ако су а и б позитивни цели бројеви, тада је очекивани број корака до једнодимензионалног принципа случајне шетње са почетком у првим ударцима б или -а је АБ. Вероватноћа је да ће ова шетња погодити Б пре него што -а је А / (А + Б), што се може извести из чињенице да једноставна случајна шетња представља лажне узде.
Неки од наведених резултати може бити изведен из својстава Паскаловог троугла. Број различитих слојева н кораке где сваки корак је +1 или -1 је 2н. Из просте случајне шетње, свака од ових шетњи је подједнако вероватна. Да би Сн био једнак са бројем к потребно је и довољно да број +1 у шетњи премашује оне -1 до к. Број шетњи које задовољавају је једнак броју начина избора (н - к) / 2 са н које је број дозвољених потеза, означен. Да ово има значење, потребно је да су н и к парни бројеви. Дакле, вероватноћа да је једнако . Што представља уносе Паскаловог троугла у смислу факторијала и коришћења Стирлинг формуле, могу се постићи добре процене за ове вероватноће за велике вредности н.
Ако је простор ограничен на \ матхбб З + за краткотрајно, број начина на који ће случајна шетња да слете на сваки број има пет бацања и може да се прикаже као {0,5,0,4,0,1}.
Овај однос са Паскаловим троуглом је доказан за мале вредности н. Ако креће од нуле, једина могућност ће бити да остане на нули. Међутим, у једном опет, постоји једна шанса од слетања на -1 или једно могуће спуштање на 1. У два наврата, маркер на 1 да пређе на 2 или назад на нулу. Маркер на -1, да пређе на -2 или назад на нулу. Дакле, постоји једна шанса од слетања на -2, две шансе за слетање на нулу, а једно могуће слетање на 2. k −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Теорема централне границе и закон понављања логаритма описују важне аспекте понашања принципа случајне шетње \mathbb Z. Конкретно, претходно се подразумева да н расте, приступ вероватноће (пропорционална броју у сваком реду) са нормалном расподелом.
Као директна генерализација, могу се узети у обзир случајне шетње на кристалној летвици (Инфините износа Абелеви покрива графиконе преко коначних графова). Заправо је могуће успоставити централну граничну теорему и теорему великих девијација у овом окружењу.
Као Марков ланац Једнодимензионална случајна шетња може се посматрати као Марков ланац чије стање простора је дато по облику целих За неке бројеве п задовољава се, вероватноћа прелаза (вероватноћа Пи ј преласка из стања да се наведе ј) и дају:
Више димензије right|мини|310x310px|Три случајне шетње у три димензије Замислите сада пијаница који случајно шета у идеализованом граду. Град је ефективно бесконачан и распоређен у квадратну мрежу, и на сваком пресеку пијанац бира једну од четири могућа пута (укључујући и онај из којег је дошао), са једнаком вероватноћом. Формално, ово је случајна шетња одређена свим тачакама у равни са целим координатама.
Да ли ће се пијанац икада вратити својој кући из бара? То је 2-димензионални еквивалент проблема нивоа прелаза који је раније описан. Испоставило се да је скоро сигурно да ће у 2-димензионалној случајној шетњи, али и са 3 димензије или више, вероватноћа повратка у просеку смањује како се број димензија повећава. У 3 димензије, вероватноћа се смањује за отприлике 34%.
Путања случајне шетње је збир локација које су посећене, које су занемарене док сшетњом не стигнемо на место. У једној димензији, путања су једноставно све тачке између минималне висине шетње која је постигнута и максимално (оба су, у просеку, по налогу √ н). У вишим димензијама скуп има занимљиве геометријске карактеристике. У ствари, један добија дискретни фрактал, то је скуп који показује стохастичко само-сличност на великим скалама, али се у малом обиму може посматрати "јаггеднесс" тако да произилази из мреже на којој се врши шетња. Две Лавлерове књиге наведене у даљем тексту су добар извор за ову тему.
Однос према Винеровом процесу
right|мини|196x196px|Симулација Винеровог процеса у две димензије Винеров процес је математичка формулација Брауновог кретања, случајног кретања тела у течностима веће специфичне густине од њега самог.
Винеров процес је повезан са случајном шетњом. Стохастички процес
за свако , где су то независне и идентични распоређене случајне променљиве са очекиваном вредношћу 0 и варијансом 1, за , тежи Винеровом процеесу. Конвергенција је дата Централном граничном теоремом.Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion (2001) Винеров процес у произвољној димензији је лимес случајне шетње у истој димензији.
Случајна шетња се може посматрати као дискретан фрактал, односно функција целобројних димензија 1, 2, ... Винеров процес је прави фрактал Хаусдорфове димензије 2.
Винеров процес шетње је инваријантан на ротације за произвољни угао, док је случајна шетња инваријантна само на ротације под правим углом, јер је дефинисана на целобројној решетки која сама не поседује инваријантност на остале ротације.
Гаусова случајна шетња Случајни шетња са бројем корака који варира према нормалној подели се користи као модел за реалне податке временских серија као што су финансијска тржишта. Црна-Сцхолес формула за цену је опција моделирања, на пример, користи Гаусову случајну шетњу као основну претпоставку
Овде, величина корака је инверзна кумулативној нормалној расподели где 0 ≤ z ≤ 1је равномерно распоређени случајни број, а μ и σ су средње и стандардне девијације нормалне дистрибуције.
Ако је μ различит од нуле, случајна шетња ће варирати око линеарног тренда. Обрнуто, ако је почетна вредност случајне шетње, очекивана вредност након н корака ће бити вс + нμ.
За посебан случај где је μ једнака нули, након н корака, расподелом удаљеност је Н (0, нσ2), где је Н () ознака за нормалну расподелу, н је број корака, и σ је инверзна кумулативна нормална дистрибуција као што је дато горе.