Проблем две коверте, такође познат као парадокс размене, је мозгалица, енигматика , или парадокс у логици, вероватноћи и рекреативној математици. То је од посебног значаја у теорији одлучивања, као и за Бајесова тумачења у теорији вероватноће. Историјски, то је настало као варијанта парадокса кравате. Проблем је обично уведен при формулисању хипотетичког изазова у наредном типу: Од две различите коверте, од којих свака садржи новац, једна садржи дупло више него друга. Предмет може одабрати један коверту и задржати новац који садржи. Пошто самовољно изабере коверту, пре него што је испита, предмет добија шансу да узме другу коверту уместо тога. Шта је оптимална рационална стратегија за узимање максималне своте новца?

Нема смисла уопште у пребацивању коверте јер је ситуација симетрична. Међутим, у причу се сада уводи тзв. аргумент пребацивања који показује да је корисније. Проблем је да се покаже шта није у реду са овим аргументом.

Увод

Дискусија Размотримо следећи аргумент. Претпоставимо да је износ у одабраној коверти $ 20. Ако се у једној коверти деси да буде већи износ него у другој коверти ("већи", што значи онај са већом количином новца, две коверте су идентичне по изгледу), то би значило да је износ у првој коверти двоструко већи од износа у другој коверти. Дакле, у овом случају износ у другој коверти ће бити $ 10.

Међутим, ако је изабрани коверат мањи од друге коверте, то би значило да је износ у другој коверти двоструко већи од изабраног. У овом случају износ у другој коверти ће бити $ 40.

Вероватноћа да се било који од ових сценарија догоди је половина, јер постоји шанса 50% да је изабран већи коверат и вероватноћа 50% да је изабран мањи коверат. Очекивана вредност за обрачун колико новца је у другој коверти ће бити износ у првом сценарију време вероватноће првог сценарија плус износ у другом сценарију време вероватноће другог сценарија, који је $ 10 × 1/2 + $ 40 × 1/2. Резултат овог прорачуна је да очекивана вредност, односно просек, износа новца у другој коверти је $ 25. Пошто је ово веће од износа у изабраној коверти, чини се да особе бирањем коверте којој дају предност пребаце коверте.

Замислимо било који други износ, на пример: уместо $ 20- $ 200, што нас доводи до истог закључка. То значи да чак и пре него што отворите одабрану коверту знате да ћете желети да уместо тог узмете други коверат, јер у просеку ће добити помоћу прекидача. Међутим, ово се противи здравом разуму.

Предложена решења  Предложена су многа решења. Обично један аутор предлаже решење проблема као што је наведено, након чега други аутор показује да мењање проблема мало оживљава парадокс. Овакве дискусије су произвеле породицу блиско повезаних формулација овог проблема, што је резултирало обимној литератури на ову тему.

Ниједно предложено решење није прихваћено као дефинитивно. Упркос томе што аутори тврде да је решење проблема лако, чак и елементарно. Међутим, приликом истраге ових елементарних решења мишљења се често разликују од једног до другог аутора. Од 1987. нови радови су објављивани сваке године. 

Проблем Основна поставка: Ви имате две идентичне коверте, од којих свака садржи позитивну суму новца. Једна коверта садржи дупло више него друга. Можете одабрати једну коверту и задржати је, било који износ да садржи. Насумично можете изабрати једну коверту, али пре него што је отворите, даје вам се шанса да изаберете другу коверту.

 Аргумент: претпоставимо следеће: Означавам са А оно што је у мојој коверти Вероватноћа да је А мања количина је 1/2, а да је већа је такође 1/2 Друга коверта може да садржи 2А или А/2 Ако је у А мања количина, онда друга коверта садржи 2А Ако је у А већа количина, онда друга коверта садржи А/2 Тако друга коверта садржи 2А са вероватноћом 1/2 и А/2 са вероватноћом 1/2. Тако очекивана вредност новца у другој коверти је:

Ово је веће од А, па се добија просек од замене Након прекидања, могу да означим тај садржај са Б и разлог је потпуно исти као што је горе. Ја ћу закључити да је најрационалнија ствар коју треба урадити је да се поново врати замени. Да будемо рационални, ја ћу на тај начин завршити замену коверте унедоглед. Рационалније изгледа да се отвори било који коверат него да се на неодређено време замени, ту имамо контрадикцију.

Загонетка: Загонетка је да се пронађе грешка у веома убедљивом образложењу. То управо укључује одређивање разлога зашто и под којим условима који корак није тачан, како би били сигурни да не правимо исту грешку у компликованијој ситуацији где погрешан корак не може бити тако очигледан. Укратко, проблем је да се реши парадокс.

Прост пример Уобичајени начин да се реши парадокс, и у популарној литератури и делу академске литературе, а посебно у филозофији, је да се претпоставимо да је "А" у кораку 7 намењен да буде очекивана вредност у коверту А и да смо намеравали да напишете формуле за очекивану вредност у коверти В.

Корак 7 наводи да је очекивана вредност В = 1/2 (2А + А/2)

Истакнуто је да је "А" у првом делу формуле очекивана вредност, с обзиром да коверта А садржи мање од коверте В, али је "А", у другом делу формуле очекивана вредност у, с обзиром да коверта А садржи више од коверте В. мана у аргументу је да се исти симбол користи у два различита значења у оба дела истог обрачуна, али се претпоставља да има исту вредност у оба случаја.

Исправан обрачун би био: Очекивана вредност В = 1/2 (очекивана вредност у А (дато А је веће од В) + Очекивана вредност у А (дато А је мање од В) 

Ако се узме да је износ у једној коверти x онда је износ у другој коверти 2x очекивани прорачун вредности постаје: Очекивана вредност за В = 1/2 (x + 2x)                  који је једнак очекиваној суми А. 

which is equal to the expected sum in A.

У не-техничком језику, шта пође по злу када је замишљени сценарио да коверта А садржи мање од коверте В, једни верују да вредности треба да буду прегледане у односу на оно што су претходни, без те додатне информације. Ипак, у обрачуну који води до парадоксалног резултата по ком коверта В садржи у просеку више него у коверта А, аутор се понаша као да су му уверења о томе шта је у коверти А потпуно иста када је већи износ у питању, као када то је мања количина, када му је таква информација је дата. Наравно, стварни износ у коверти је фиксан и не мења се ако се открива који коверат има више. Поента је да овај износ, шта год да је, није познат за њега. То је његово уверења о износу који не може бити исти ако је дао додатне информације о томе који коверат има више.

Линија 7 требало би да буде разрађена пажљиво на следећи начин:

А ће бити веће када је А веће од В, него када је мања од В. Зато су њене просечне вредности (очекиване вредности) у та два случаја различите. Просечна вредност А није иста самој себи, у сваком случају. Две грешке се праве: аутор је заборавио да је узимао очекиванее вредности, и да је узимао очекиване вредности у два различита случаја.

Било би лакше да израчуна Е (В) директно. Означавајући нижи од два износа од x, и узимајући га да се поправи (чак и ако непознат) смо сазнали да

Сазнајемо да је 1.5x очекивана вредност у износу у коверти В. Истим рачуном такође је очекивана вредност у износу и у коверти А. Они су исти стога нема разлога да се даје предност једној коверти у односу на другу. Овај закључак је очигледан; Поента је да смо идентификовали лажни корак у аргументу за пребацивање објашњавајући тачно где је прорачун који је нестао.

Такође можемо наставити да је исправна, али је тешко протумачити резултат развоја у складу са ставком 7:

тако има разних праваца за израчунавање и сви дају исти одговор.

Tsikogiannopoulos (2012) је представио другачији начин да се ово израчуна. Наравно, то је по дефиницији додељивање једнаких шанси за то да друга коверта садржи двоструку или половину од износа у коверти А. Тако је "пребацивање аргумента" тачно до корака 6. Имајући у виду да коверта играча садржи количину А он разликује актуелну ситуацију у две различите игре: Прва утакмица ће се играти са износима (А, 2А) а друга утакмица са износима (А / 2, А). Само један од њих је заправо играо, али не знамо који. Ове две утакмице треба да буду третиране другачије. Ако играч жели да израчуна његов/ њен очекивани повратак (добитак или губитак) у случају размене, он / она треба да тежи повратку изведен из сваке утакмице просечног износа у две коверте у тој игри. У првом случају  профит би био са просечном износу од 3А/2, док у другом случају губитак би био А/2 са просечном износу од 3А/4. Дакле, формула очекиваног повратка у случају размене, види као проценат од укупног износа у две коверте, је:

Овај резултат значи да играч опет не мора да очекује добитак или губитак разменом његове / њене коверте.

Налбафова асиметрична варијанта Како су истицали многи аутори, механизам којим се одређују износи две коверте је од кључног значаја за одлуку играча да пребацујете или не његову / њену коверту. Претпоставимо да су износи у две коверте А и В не одређује прво фиксирање садржаја две коверте Е1 и Е2, а затим их именовања и В случајно (на пример, жреб фер новчића; Никерсон и Фалк, 2006). Уместо тога, почињемо одмах на почетку тако што неки износ у коверти А, а затим попуните Б на начин који зависи како на срећу (у бацањем новчића) и на оно што смо ставили у А. Претпоставимо да пре свега износа а у Коверти А је фиксна на овај или онај начин, а затим износ у коверти В је фиксна, зависи од тога шта је већ у А, према исходу фер новчића. Ако је на новчићу окренута глава  онда 2а се ставља у коверту В, ако је на новчићу окренуто писмо онда а/2 се ставља у коверту В. Ако је играч био свестан овог механизма, и зна да они имају коверту А, али не знаа исход жреба, и не зна, онда пребацивање аргумената је исправно и он / она препоручује да се пребаце коверте. Ова верзију проблема је увео Налбаф (1988) и често се назива Али-Баба проблем. Обратите пажњу да нема потребе гледати у коверту А како би се одлучило да ли пребацити или не.

Много више варијанти проблема су увели. Никерсон и Фалк (2006) систематски гледано укупно 8.

Бајесове одлуке Једноставна одлука изнад претпоставља да је особа која је измислио аргумент за пребацивање је покушавао да израчуна очекивање вредност износа у коверти А, мислим на два износа у коверти као фиксне (х и 2х). Једина неизвесност је што коверта има мањи износ х. Међутим, многи математичари и статистичари тумаче аргументе као покушај да се израчуна очекивани износ је у коверти В, с обзиром на стварну или хипотетички количину "А" у коверти А. (Математичари шта више воле да користе симбол а за могућу вредност, задржавајући симбол А за случајне променљиве). Не треба да погледамо у коверти да видимо колико је тамо, да би то израчунали. Ако је резултат обрачуна савет да се пребаце коверте, онда би се да треба свакако пребацити, без гледања. У том случају, на кораке 6, 7 и 8 образложења "А" је свака фиксна могућа вредност износа новца у првој коверти.

Ово тумачење проблема две коверте појављује се у првим публикацијама у којима је уведен парадокс у свом садашњем облику,  Гарднер (1989) и Налбаф (1989). То је уобичајено у математичкој литератури  о проблему. То важи и за модификацију проблема (који су изгледа почели са Налбафом) у којем  власник коверте А заправо не гледа у своју коверту пре него што одлучи да ли да је замени или не; мада Налбаф тврди да нема потребе да власник коверте гледа у своју коверту. Ако је замишља да гледа у њу, и ако за било који износ који је могао да замисли да има тамо, он има аргумент за промену, онда ће одлучити у сваком случају да промени. На крају, ово тумачење је такође било језгро ранијим верзијама проблема две коверте (Литлвудове, Шредингерове); види закључни одељак, о историји ТЕП.

Ова врста тумачења се често назива "Бајесова", јер писац претпоставља такође укључивање и пре расподеле вероватноће могућих количина новца у две коверте у аргументу размене.

Једноставна форма Бајесове одлуке