Блок бројева до 10, почетни блок бројева, представља једну од најзначајнијих тема у почетној настави математике. У оквиру овог блока ученици стичу прва знања о природним бројевима, уче да броје, усвајају појмове релација и операција и рјешавају прве математичке задатке. Ово је блок бројева који је темељ за стицање знања у цјелокупној настави математике. Бројевне блокове први је увео Фридрих Еберхард фон Рохов. Он је увео блокове бројева овим редом: од 1 до 10; од 1 до 100; од 1 до 1000, ... Бројевне слике којима се кодирају менталне представе везане за почетне бројеве увео је Ф. И. Бусе(Фјдор Иванович Буссе, 1794 - 1859). Почиње се са најмањим блоком бројева до 5 већ у оквиру кога се уводе знаци « мање» и « више» и гдје се зачињу операције сабирања и одузимања, а самим тим појављују знаци за ове двије операције и знак једнакости . Задржавање у оквиру најмањег блока, је прије свега оправдано чињеницом да дјеца погледом - без пребројавања разликују једночлане, двочлане и трочлане скупове, па и оне који се подесним илустровањњем « виде» као 3+1, 2+2 , 2+3» .« Тако у овим корацима» , сматра Марјановић, «акценат није на срачунавању већ на увјежбавању писања и коришћења операцијских и релацијских знакова. Када се обради овај најмањи блок бројева прелази се на блок бројева до 10 јер, дјеца већ имају знање из блока бројева до 5, па ће бити лакше обрадити све остале бројеве, тј. бројеве од 6 до 10. У обради прве десетице они издвајају три међусобно повезана дијела: припремни период нумерација бројева и сабирање и одзимање(П. Радојевић и В. Радојевић 1984 :116 - 117). С обзиром на то да се природни бројеви на јављају независно један од другог (3, 10, 2, 5, итд. ) већ се једино могу разумјети као елементи уређеног низа 1, 2, 3, . . . , обради природних бројева треба приступити редом ( један по један број низа - монографски)уз примјену дескриптивне методе. Блок бројева до 10 У овај блок бројева спадају бројеви који се записују једном цифром, осим највећег броја у овом блоку који се записује са двије цифре - то је број 10. Цифре представљају конвенционалне симболе који својим обликом не сугеришу значење броја који представљају. Ови бројеви у декадном бројном систему имају улогу елемената чијим комбиновањем може представити други произвољни природни број. Обрада блока бројева до 10 пролази кроз сљедеће : формирање појма природног броја релације операције и рјешавање задатака Формирање појма природног броја Прва истраживања која су обављена о овом проблему јављају се крајем прошлог вијека. Почетна настава математике заузима доминантно мјесто у изградњи и развијању мишљења ученика. Мишљење се у психологији дефинише као ментална активност оперисања симболима (знацима) , као што су опажаји, представе, појмови и други доживљаји који репрезентатују наше искуство. Најзначајнији међу њима јесу појмови. Користе се као средство којима се манипулише, али се и формирају. У психологији, под појмом се подразумјева мисаони одраз особина које су заједничке за објекат, групу предмета и појава. За појам је карактеристичан скуп својстава који га одликују. Мишљењем се сазнају различите стране објеката, врши се упоређивање по сличности и различитости, успостављају се односи међу објектима, групишу се сличности, уочава оно што је константно и промјенљиво. Специфичност математичког мишљења треба тражити у математичким појмовима који се изграђују тим мишљењем. Мисаоне операције које се најчешће користе у почетној настави математике јесу: анализа, синтеза, апстракција, генерализација, конкретизација, специјализација и упоређивање. Без мисаоних операција нема ни математичког мишљења, а ни мишљења уопште.
Анализом се врши мисаоно рашчлањивање реалних предмета на саставне дијелове, или на својства. Синтеза, насупрот анализи, представља мисаоно састављање дијелова у цјелину. Апстракција представља мисаоно издвајање суштинских својстава, веза и односа и истовремено одбацивање небитних и мање значајних својстава, врши се и идеализација тих својстава, прелази се на граничне форме које више не постоје у стварности. Конкретизација и специјализација играју велику улогу у усвајању математичких појмова на узрасту 7 – 11 година, када су дјеца још на нивоу конкретних операција. Циљ конкретизације је да дјеца лакше могу да усвоје сложене апстрактне и логичке структуре. Специјализација представља мисаону операцију помоћу које се преносе својства која важе за неки шири скуп на његов правни подскуп. Упоређивање лежи у основи других мисаоних операција. Помоћу упоређивања мисаоно се успостављају сличности и разлике међу посматраним појавама. Успјешности усвајања математичких садржаја и развијању математичког мишења код ученика у почетној настави математике доприноси добро познавањwе фаза развоја њиховог мишљења. Према Пијажеу, постоје три основне фазе у интелектуалном развоју дјетета. Ове фазе не треба схватити као стриктно одвојене, јер је ментални развој континуирани процес. Фазе менталног развоја које је предложио Пијаже су : Преоперативна фаза (до 6 година) Ниво конкретних операција (7 – 11. г. ) Ниво формалних операција (11 – 14. г. ) У првој фази менталног развоја дјеца своје закључке не могу да повезују у једну цјелину. Основна карактеристика ове фазе јесте неспособност за извођење инверзних операција (" враћање уназад" ), тј. мишљење није реверзибилно. Без реверзибилног мишљења ученици не могу да разумију сабирање и одузимање (инверзна операција сабирању). Главне промјене у мишљењу дјетета јављају се око поласка у основну школу. Одлучујућа прекретница у манталном развоју огледа се у јављању конкретних операција, сложених менталних операција попут додавања, одузимања, класификовања, серијације итд. које омогућавају дјетету да уради « у глави » оно што је некада могло да уради само директно манипулишући предметима. Све ове операције су реверзибилне, тј. обртањем акције ствари се могу вратити на почетно стање, али су још увијек везане за појединачно искуство и не важе за вербално исказане хипотезе. На овом узрасту почињу да се образују операције које су назване конкретним јер се директно односе на објекте. Мишљење постаје организованије и флексибилније. Дијете може унапријед да размишља како акције могу промјенити предмете и да се затим у мислима врати на почетак, на то какве се свари у том тренутку. То су интериоризоване акције, као што су ментално поређење велична већег броја предмента, координисање два гледишта или стављање предмета у оштије категорије чији су они чланови. Дијете сада може да ментално извржава могуће акције на реалним спољашњим стварима и догађајима. У овој фази (узраст од првог до четвртог разреда основне школе) дијете може да замисли више материјалних скупова, да издвоји заједничке особине посматраних објеката, упоређује предмете по величини, тражи узроке многим појавама итд. Операције на овом нивоу узраста врше се конкретним материјалним објектима. Дјеца се у овом периоду одликују способношћу да уоче непромјенљивост неких објеката реалног свијета при извијесним операцијама (нпр. дужина канапа се не мијења како год да га савијемо). Способна су да врше операције уназад. Захваљујући реверзибилности, дијете је способно за низ сазнајних операција: груписање, класификацију, схватање серија итд. Све ово стоји у основи способности за схватање појма броја, бројевног низа и елементарних математичких операција. Мишљење на овом стадијуму одликује слиједеће: децентрација, (способност да се истовремено води рачуна о више аспеката ситуације) , конзервација (способност схватања константности квантитативних својстава предмета независно од промјене у њиховом изгледу) и реверзибилност мишљења. Јављају се операције негације, реципроцитета и идентитета. Егоцентризам у мишљењу огледа се у неспособности разликовања мисли о реалности и саме реалности. Трећи период развоја ( ниво формалних операција ) одликује се потпуним ослобађањем од конкретних објеката, а расуђивање се одвија према законима формалне логике, закључује се из претпоставки. Неодвојиви од математичког мишљења, посматрају се и математички појмови, као његови операнди. У психологији, под појмом се подразумјева мисаони одраз особина које су заједничке за објекат, групу предмета и појава. За појам је карактеристичан скуп својстава који га одликују. Како се дјеца у разредној настави налазе на нивоу конкретних операција сазнање о појму започиње посматрањем примјера везаних за тај појам. Када говоримо о формирању појма природног броја то сазнање непосредно се заснива на опажању (чулном сазнању) предмета у непосредном окружењу ученика (учионица) на основу чега се стиче представа (ментална слика о појму). Даље, мисаоном обрадом (мисаоним операцијама) чулно - искуствених сазнања долази се до појма. Цијели тај процес прати именовање појма. У именовање треба укључити и симболичко записивање. У методици наставе математике за формирање појма природног броја на овом узрасту најчешћа опредјељења иду за прихватање скуповног прилаза. Основу оваквог прилаза чини, да се у формирању појма природног броја полази од класе еквивалентних скупова. Имајући у виду да је интуитивни (опажајни) стадијум оно што карактерише овај узраст, значајно мјесто у овом раду имаће предмети непосредне ученикове околине и разни дидактички материјали. Помоћу дидактичких материјала прилазићемо формирању скупова конкретних елемената, придруживање можемо вршити директним манипулисањем, а одређивање бројности (са могућим представљањем те бројности) вршићемо прво обојеним штапићима, а потом изговореном ријечју. При формирању појма природног броја код дјеце увијек треба полазити од примјера, тј. скупа према менталној слици до појма који желимо формирати.
Формирање појма броја један Да би смо формирали појам броја 1 полазимо, од већ упознатог појма, једночланог скупа. Прво ћемо почети уочавање једночланих скупова из непосредне ученикове околине (учионице) . Почећемо конкретним примјерима: Колико у нашој учионици има табли? (једна) Колико имамо учитељица? ( једну) Колико свако од вас има торби? (једну) Садаћемо показати неколико слика са једночланим скуповима. Описујући слике користимо ријеч « један» заједно са именом предмета (бића) на који указујемо. На првој слици видимо једну торбу. На другој слици видимо једну оловку. На тре}ој слици видимо једно дијете. Даље описујући слике уз сваку од њих пишемо конвенционални знак «1» без именовања предмета. Тим знаком почињемо означавати апстрактни појам, а не примјере који му одговарају . Затим од ученика захтјевамо да се образују скупови: «Нека Ана образује скуп дјеце са наочарима! » (најприје се уочава да је само једно дијете у групи ) «Мира нека образује скуп дјевочица са кикама, а Бојан скуп дјевојчица са машном у коси. » На крају слиједи увјежбавање правилно писање овог знака. Покрети ће тежити, као и код свих вјежби те врсте, својој поједностављеној правилности. Формирање појма броја два Као и код формирања појма броја 1 и овдје почињемо директном опсервацијом преко карактеристичних двочланих скупова непосредно досегнутих дјечијем опажају као на примјер двије руке, двије ноге, два ока, два ува и сл. Описујући слике користимо ријеч « два» заједно са именом предмета на које указујемо. Затим питамо: « По колико свако од вас има руку ? » (двије) « По колико имате ногу? » (двије) «А по колико имате очију? » (по два ока) . Какви су то скупови који имају по два елемента? (двочлани). « Има ли у нашој учионици још неки скуп од по два елемента? Има : двије столице за клупом, два дјетета за једном клупом, два прозора итд. Затим свакој слици придружујемо конвенционални знак « 2» . На крају увјежбавамо правилно писаwе овог знака. == Формирање појма бројева3,4 и 5 Појам бројева 3, 4 и 5 формираћемо на сличан начин као што смо формирали појмове бројева 1 и 2. Код обраде ових бројева своју функцију имају и бројевне слике као што су ове: у којима на први поглед уочавамо 3 као 2 + 1, 4 као 2 + 2 и 3 + 1, а 5 као 4 + 1 и 3 + 2. Број нула У току обраде бројева до 10 изучавамо број нула и цифру 0. Појам нуле изводимо на два начина: