Векторска анализа је грана математике која проучава диференцијални и интегрални рачун над векторским пољима, првенствено у тродимензионалном Еуклидовом простору Термин „векторски рачун“ се понекад користи као синоним за ширу тему мултиваријабилног рачуна, која обухвата и векторски рачун као и парцијални извод и вишеструки интеграл.
Највећу примену у математици налази у диференцијалној геометрији и парцијалним диференцијалним једначинама, а од осталих грана науке, највише се користи у физици, посебно у електродинамици, механици флуида, гравитацији и сл.
Основни објекти
Скаларна поља
Скаларно поље придружује скаларну вредност свакој тачки у простору. Скалар је математички број који представља физичку величину. Примери скаларних поља у апликацијама укључују дистрибуцију температуре у простору, расподелу притиска у флуиду и квантна поља са спином нула (позната као скаларни бозони), као што је Хигсово поље. Ова поља су предмет теорије скаларног поља.
Векторска поља
Векторско поље је додељивање вектора свакој тачки у простору. Векторско поље у равни, на пример, може се визуализовати као колекција стрелица са датом величином и смером, свака везана за тачку у равни. Векторска поља се често користе за моделовање, на пример, брзине и правца флуида који се креће кроз простор, или јачине и смера неке силе, као што је магнетна или гравитациона сила, како се мења од тачке до тачке. Ово се може користити, на пример, за израчунавање рада обављеног дуж линије.
Вектори и псеувектори
У напреднијим третманима, даље се разликују псеудовекторска поља и псеудоскаларна поља, која су идентична векторским пољима и скаларним пољима, осим што мењају предзнак под мапом која мења оријентацију: на пример, ротор векторског поља је псеудовекторско поље, а ако се одражава векторско поље, ротор је усмерен у супротном смеру. Ова разлика је разјашњена и разрађена у геометријској алгебри, као што је описано у наставку.
Векторска алгебра
Алгебарске (недиференцијалне) операције у векторском рачуну називају се векторском алгебром, дефинишу се за векторски простор и затим се глобално примењују на векторско поље. Основне алгебарске операције се састоје од:
+Нотације у векторском рачунуОперацијаНотацијаОписСабирање вектораСабирање два вектора, дајући вектор.Множење вектораМножење скалара и вектора, дајући вектор.Скаларни производ вектораМножење два вектора, дајући скалар.Векторски производМножењем два вектора у добија се (псеудо)вектор.
Такође се често користе два трострука производа: +Троструки производи векторског рачунаОперацијаНотацијаОписСкаларни троструки производСкаларни производ векторског производа два вектора.Векторски троструки производВекторски производ векторског производа два вектора.
Оператори и теореме
Диференцијални оператори
Векторски рачун проучава различите диференцијалне операторе дефинисане на скаларним или векторским пољима, који се обично изражавају у виду -{del}- оператора (), такође познатог као „набла”. Три основна векторска оператора су:
+Диференцијални оператори у векторском рачунуОперацијаНотацијаОписНотацијааналогијаДомен/опсегГрадијентМери брзину и смер промене у скаларном пољу.Скаларно множењеПресликава скаларна поља у векторска поља.ДивергенцијаМери скалар извора или понора у датој тачки у векторском пољу.Скаларни производ вектораПресликава векторска поља у скаларна поља.РоторМери тенденцију ротације око тачке у векторском пољу у .Векторски производПресликава векторска поља у (псеудо)векторска поља. означава скаларно поље и означава векторско поље
Такође се често користе два Лапласова оператора:
+Лапласови оператори у векторском рачунуОперацијаНотацијаОписДомен/опсегЛапласијанМери разлику између вредности скаларног поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.Мапе између скаларних поља.Векторски ЛапласијанМери разлику између вредности векторског поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.Мапе између векторских поља. означава скаларно поље и означава векторско поље
Квантитет који се назива Јакобијанска матрица је користан за проучавање функција када су домен и опсег функције мултиваријабилни, као што је промена променљивих током интеграције.
Теореми интеграла
Три основна векторска оператора имају одговарајуће теореме које генерализују основну теорему рачуна на више димензије:
+Интегралне теореме векторског рачуна Теорема Исказ Опис Теорема градијента Криволинијски интеграл градијента скаларног поља дуж криве -{L}- једнак је промени скаларног поља између крајњих тачака -{p}- и q криве. Теорема дивергенције Интеграл дивергенције векторског поља над -димензионалним чврстим телом -{V}- једнак је флуксу векторског поља кроз -димензионалну затворену граничну површину тела. Теорема ротоара (Келвин–Стоукс) Интеграл кривуље векторског поља преко површине Σ у једнак је кружењу векторског поља око затворене криве која ограничава површину. означава скаларно поље и означава векторско поље
У две димензије, теореме о дивергенцији и увијању своде се на Гринову теорему:
+Гринова теорема векторског рачуна Теорема Исказ Опис Гринова теорема Интеграл дивергенције (или завоја) векторског поља преко неког региона -{A}- у једнак је флуксу (или циркулацији) векторског поља преко затворене криве која ограничава регион.За дивергенцију, . За ротор, . и су функције од .
Референце
Литература
Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive. Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
Спољашње везе
-{Vector Calculus Video Lectures}- -{A survey of the improper use of ∇ in vector analysis}- -{Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis}-
Категорија:Математичка физика Категорија:Математичка анализа