-{T|sr: (константа);sr-ec: (константа);sr-el: (konstanta)}-
мини|237px|десно|График једначине Овдје је јединствени број већи од 1, што чини осенчену површину једнаком 1.
, познат као Ојлеров број или Неперова константа, основа је природног логаритма и један од најзначајнијих бројева у савременој математици, поред неутрала сабирања и множења 0 и 1, имагинарне јединице број i и броја пи. Осим што је ирационалан и реалан, овај број је још и трансцедентан. До тридесетог децималног места, овај број износи:
≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352...
То је основа природних логаритама. То је граница како се приближава бесконачности, израз који се јавља у проучавању сложеног интереса. Такође се може израчунати као збир бесконачног низа
То је такође јединствени позитивни број такав да график функције има нагиб од 1 на .
(природна) експоненцијална функција је јединствена функција која је једнака сопственом изводу и задовољава једначину ; стога се такође може дефинисати као . Природни логаритам, или логаритам бази , је инверзна функција природној експоненцијалној функцији. Природни логаритам броја може се директно дефинисати као површина испод криве између и , у ком случају је вредност за коју је ова површина једнака један (погледајте слику). Постоје разне друге карактеристике.
Број се понекад назива Ојлеровим бројем (не треба га мешати са Ојлеровом константом ), по швајцарском математичару Леонхарду Ојлеру, или Напијеровом константом, по Џону Напијеру. Константу је открио швајцарски математичар Јакоб Бернули док је проучавао сложену камату. Extract of page 166
Број је од великог значаја у математици, поред 0, 1, и . Свих пет се појављују у једној формулацији Ојлеровог идентитета и играју важне и понављајуће улоге у математици. Као и константа , је ирационално (то јест, не може се представити као однос целих бројева) и трансцендентно (то јест, није корен ниједног полинома различитог од нуле са рационалним коефицијентима).
Дефиниције Број се може представити као: Гранична вредност бесконачног низа:
Сума бесконачног низа:
Где је -{n}-! факторијел n.
Позитивна вредност која задовољава следећу једначину:
Може се доказати да су наведена три исказа еквивалентна.
Овај број се среће и као део Ојлеровог идентитета:
Историја
Прве референце на константу објављене су 1618. године у табели додатка дела о логаритмима Џона Напијера. Међутим, ово није садржало саму константу, већ једноставно листу логаритама за основу . Претпоставља се да је табелу написао Вилијам Оутред.
Откриће саме константе приписује се Јакобу Бернулију 1683,Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.) који је покушао да пронађе вредност следећег израза (који је једнак ):
Прва позната употреба константе, представљене словом , била је у преписци Готфрида Лајбница са Кристијаном Хајгенсом 1690. и 1691. године. Леонхард Ојлер је увео слово као основу за природне логаритме, пишући у писму Кристијану Голдбаху 25. новембра 1731.Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially. From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … ) Ојлер је почео да користи слово за константу 1727. или 1728. године, у необјављеном раду о експлозивним силама у топовима,Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...") док је прво појављивање у једној публикацији било у Ојлеровој Механици (1736)., Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be or , where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.) Иако су неки истраживачи користили слово у наредним годинама, слово је било чешће и на крају је постало стандардно.
Референце
Литература
. Commentary on Endnote 10 of the book Prime Obsession for another stochastic representation
In particular, the entries for "bell-shaped and bell curve" , "normal (distribution)" , "Gaussian" , and "Error, law of error, theory of errors, etc." .
Translated by Stephen M. Stigler in , 1986: .
Спољашње везе
The number to 1 million places and NASA.gov 2 and 5 million places Approximations – Wolfram MathWorld Earliest Uses of Symbols for Constants Jan. 13, 2008 "The story of ", by Robin Wilson at Gresham College, 28 February 2007 (available for audio and video download) Search Engine 2 billion searchable digits of , and
Категорија:Бројеви Категорија:Математичка анализа Категорија:Математичке константе Категорија:Логаритми Категорија:Трансцендентни бројеви Категорија:Леонард Ојлер