У теорији група, грани математике, Лагранжова теорема гласи да за сваку коначну групу -{G}-, ред (број елемената) сваке подгрупе -{H}- од -{G}- дели ред групе -{G}-.
Ово се може показати коришћењем концепта левих косета од -{H}- у -{G}-. Леви косети су класе еквиваленције одређене релације еквиваленције на -{G}- и стога чине партицију -{G}-. Ако можемо да покажемо да сви косети од -{H}- имају исти број елемената, онда је доказ завршен, јер је само -{H}- косет од -{H}-. Сада, ако су -{aH}- и -{bH}- два лева косета од -{H}-, можемо да дефинишемо пресликавање -{f : aH → bH}- као -{f(x) = ba-1x}-. Ово пресликавање је бијекција, јер је њен инверз -{f -1(y) = ab-1y}-.
Овај доказ такође показује да је количник редова -{|G| / |H|}- једнак индексу -{[G:H]}- (број левих косета од -{H}- у -{G}-). Ако запишемо ово тврђење као
-{|G| = [G:H] · |H|,}-
затим га интерпретирамо као исказ о кардиналним бројевима, он остаје тачан, чак и за бесконачне групе -{G}- и -{H}-.
Последица ове теореме је да је ред било ког елемента -{a}- коначне групе (тј. најмањи позитиван цео број -{k}- такав да -{ak = e}-) дели ред те групе, јер је ред од -{a}- једнак реду цикличне подгрупе генерисане са -{a}-. Ако група има -{n}- елемената следи
-{an = e}-.
Ово се може користити у доказу Мале Фермаове теореме и њене генерализације, Ојлерове теореме.
Обратно не важи у општем случају: ако је дата коначна група -{G}- и делилац -{d}- од |-{G}-|, не мора обавезно да постоји подгрупа од -{G}- реда -{d}-. Најмањи пример је алтернирајућа група -{G = A<sub>4</sup>}- која има 12 елемената, али нема подгрупу реда 6. Међутим, ако је -{G}- Абелова група, тада увек постоји подгрупа реда -{d}-.
Категорија:Математичке теореме Категорија:Коначне групе