У геометрији, петоугао (одe грчког πέντε -{pente}- са значењем пет и γωνία -{gonia}- са значењем угао"pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.) многоугао је са пет темена и пет страница. Сума унутрашњих углова једноставног петоугла је 540°.
Правилни петоугао 250px|thumb|Правилни петоугао, стране (), радијус описаног круга (), радијус уписаног круга (), висине (), односа ширина/дијагонала
Правилни петоугао је петоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки. Сваки унутрашњи угао правилног петоугла има по 108° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петоугла износи 540°. Ако му је основна страница дужине , површина правилног петоугла се одређује формулом .
Површина се може израчунати и са
где је - полупречник описаног круга, а - полупречник уписаног круга. Обим петоугла коме је страница дужине биће једнак . Однос дијагонале и странице петоугла једнак је , што одговара златном пресеку.
Правилан петоугао има пет линија рефлексијске симетрије, и ротациону симетрију реда 5 (кроз 72°, 144°, 216° и 288°). Дијагонале конвексног правилног петоугла су у златном пресеку према његовим страницама. Његова висина (удаљеност од једне стране до супротног врха) и ширина (удаљеност између две најудаљеније раздвојене тачке, која је једнака дужини дијагонале) су дате као
где је -{R}- полупречник описаног круга.
Површина конвексног правилног петоугла са дужином странице -{t}- је дата са
Када је правилан петоугао описан кругом полупречника -{R}-, његова дужина ивице -{t}- је дата изразом
а његова површина је
пошто је површина описаног круга правилни пентагон испуњава приближно 0,7568 свог описаног круга.
Извођење формуле површине
Површина било ког правилног полигона је:
где је -{P}- обим полигона, а -{r}- полупречник (еквивалентно апотема). Замена вредности регуларног пентагона за -{P}- и -{r}- даје формулу
са дужином странице -{t}-.
Интрарадијус
Слично сваком правилном конвексном полигону, правилан конвексни петоугао има уписан круг. Апотема, која је полупречник r уписаног круга, правилног петоугла је повезана са дужином странице t помоћу
Тетиве од описаног круга до врхова
Као и сваки правилан конвексни многоугао, правилни конвексни петоугао има описан круг. За правилан петоугао са узастопним врховима -{A, B, C, D, E,}- ако је -{P}- било која тачка на описаној кружници између тачака -{B}- и -{C}-, онда је -{PA + PD = PB + PC + PE}-.
Тачка у равни
За произвољну тачку у равни правилног петоугла са полупречником круга , чија су растојања до тежишта правилног пентагона и његових пет врхова и респективно, важи
Ако су растојања од врхова правилног петоугла до било које тачке на његовој описаној кружници, онда је
Конструкција Правилни петоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, једну од могућих конструкција. мини|250п|лево|Анимирани приказ конструкције петоугла помоћу шестара и лењира
Еуклидов метод thumb|400px|Еуклидов метод за пентагон у датом кругу, коришћење златног троугла, анимација 1 мин 39 -{s}-
Правилан петоугао се може конструисати помоћу шестара и лењира, било уписивањем у дати круг, или конструисањем на датој ивици. Овај процес је описао Еуклид у својим Елементима око 300. године п. н. е.
Галерија
Види још Додекаедар
Референце
Литература
; , ,
Спољашње везе
Петоугао на -{Mathworld}- Дефиниција и особине петоугла, са интерактивном анимацијом -{Raul A. Simon}-, Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge. with only a compass and straightedge. using only a strip of paper
Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.
Категорија:Елементарни облици