У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика
где an представља коефицијент -{n}--тог сабирка, -{c}- је константа, а -{x}- је променљива близу -{c}-. Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.
Јако често се узима да је -{c}- једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик
Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.
Примери Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке -{c}-, мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином се може записати као степени ред око облика
или око центра као
или око било ког другог центра -{c}-. Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.
Формула геометријског реда
која важи за , је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције
и синусна формула
која важи за свако реално -{x}-. Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример
Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти не смеју да зависе од , стога на пример: није степени ред.
Радијус конвергенције Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве -{x}- (барем за -{x}- = -{c}-) а за остале може да дивергира. Увек постоји број -{r}-, 0 ≤ -{r}- ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је |-{x}- − -{c}-| < -{r}- и дивергира кад год |-{x}- − -{c}-| > -{r}-. Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом
или, еквивалентно,
(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је
ако овај лимес постоји.
Ред конвергира апсолутно за -{|x - c| < r}- и униформно на сваком непрекидном подскупу {-{x}- : |-{x}- − -{c}-| < -{r}-}.
За -{|x - c| = r}-, се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на -{x}- ако ред конвергира на -{x}-.
Операције са степеним редовима Сабирање и одузимање Када се две функције, -{f}- и -{g}- декомпонују у степени ред око истог центра -{c}-, степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:
онда
Множење и дељење Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:
Низ је познат као конволуција низова и .
Приметимо, за дељење:
а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.
Диференцирање и интеграција Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:
Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.
Аналитичке функције Функција -{f}- дефинисана на неком отвореном подскупу -{U}- од -{R}- или -{C}- се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако -{a}- ∈ -{U}- има отворену околину -{V}- ⊆ -{U}-, такву да постоји степени ред са центром -{a}- који конвергира функцији -{f(x)}- за свако -{x}- ∈ -{V}-.
Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.
Формални степени редови У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.
Степени редови више променљивих Степени редови више променљивих су дефинисани на следећи начин
где је -{j = (j1, ..., jn)}- вектор природних бројева, коефицијенти -{a(j1,...,jn)}- су обично реални или комплексни бројеви, а центар -{c = (c1, ..., cn)}- и аргумент -{x = (x1, ..., xn)}- су обично реални или комплексни вектори. Једноставнија нотација је
Спољашње везе Формални степени редови на сајту -{MathWorld}- Степени редови на сајту -{MathWorld}-
Категорија:Низови и редови Категорија:Реална анализа Категорија:Комплексна анализа Категорија:Калкулус више промјенљивих