thumb|250п|Две испрекидане путање приказане изнад су хомотопне у односу на њихове крајње тачке. Анимација представља једну могућу хомотопију. мини|250п|Две подебљане линије на слици су хомотопне. Танке линије представљају изоконтуре једне могуће хомотопије.
У топологији, две непрекидне функције које пресликавају један тополошки простор у други се називају хомотопним (грчки хомос = исти и топос = место) ако једна од њих може бити непрекидно деформисана у другу- Таква деформација се назива хомотопија. Појам хомотопије је основа за дефинисање група хомотопије и група кохомотопије, инваријанти у алгебарској топологији.
Формална дефиниција мини|десно|250п|Хомотопија шоље за чај у крофну (торус). Формално, две непрекидне функције -{f}- и -{g}- које сликају тополошки простор -{X}- у тополошки простор -{Y}- су хомотопне уколико постоји непрекидна функција -{H : X × [0,1] → Y}- тако да је за све тачке -{x}- из -{X}-, важи -{H(x,0)=f(x)}- и -{H(x,1)=g(x).}-
Ако посматрамо други параметар -{H}- као време, онда -{H}- описује непрекидну трансформацију функције -{f}- у -{g}-: у тренутку 0 имамо функцију -{f}-, а у тренутку 1 имамо функцију -{g}-.
Својства Хомотопија је релација еквиваленције на скупу свих непрекидних функција из -{X}- у -{Y}-. Ова релација је у складу са композицијом функција : ако су -{f1, g1 : X → Y}- хомотопне, и -{f2, g2 : Y → Z}-, онда су и -{f2 o f1}- и -{g2 o g1 : X → Z}- такође хомотопне.
Примери
Ако је дато са и , онда је мапа дата са хомотопија између њих. Уопштеније, ако је конвексан подскуп Еуклидовог простора и су путање са истим крајњим тачкама, онда постоји линеарна хомотопија (или праволинијска хомотопија) дата са
Нека је функција идентитета на јединичном n-диску; тј. скуп . Нека је константна функција која шаље сваку тачку у почетак. Онда је следећа хомотопија између њих:
Хомотопска еквиваленција
За дата два тополошка простора X и Y, хомотопска еквиваленција између X и Y је пар непрекидних мапа и , тако да је хомотопна мапи идентитета idX и је хомотопна према idY. Ако такав пар постоји, онда се за X и Y каже да су хомотопски еквивалентни, или истог типа хомотопије. Интуитивно, два простора X и Y су хомотопски еквивалентни ако се могу трансформисати један у други операцијама савијања, скупљања и ширења. Простори који су хомотопијски еквивалентни тачки називају се контрактивним.
Хомотопска еквиваленција наспрам хомеоморфизма Хомеоморфизам је посебан случај хомотопске еквиваленције, у којем је једнако мапи идентитета idX (не само хомотопно њој), а је једнако idY.Archived at Ghostarchive and the : Дакле, ако су X и Y хомеоморфни онда су хомотопски еквивалентни, али супротно није тачно. Неки примери:
Чврсти диск је хомотопски еквивалентан једној тачки, пошто се диск може деформисати дуж радијалних линија непрекидно до једне тачке. Међутим, оне нису хомеоморфне, пошто између њих не постоји бијекција (пошто је једно бесконачан скуп, док је друго коначан). Мебијусова трака и неуплетена (затворена) трака су хомотопски еквивалентни, пошто се обе траке могу континуално деформисати у круг. Међутим оне нису хомеоморфне.
Примери
Први пример хомотопијске еквиваленције је са тачком, означеном . Део који треба проверити је постојање хомотопије између and , пројекције на исходиште. Ово се може описати као . Постоји хомотопска еквиваленција између (1-сфера) и . Уопштеније, . Било који сноп влакана са влакнима хомотопно еквивалентним тачки има хомотопни еквивалентан укупни и базни простор. Ово генерализује претходна два примера пошто је сноп влакана са влакнима . Сваки векторски сноп је сноп влакана са хомотопијом влакана еквивалентном тачки. за било које , писањем као укупан простор снопа влакана , а затим примењујући горње хомотопске еквивалентности. Ако је подкомплекс CW комплекса је контрактибилан, онда је количник простора хомотопски еквивалент . Деформациона ретракција је хомотопска еквиваленција.
Нулта хомотопија
За функцију f се каже да је нулто-хомотопна ако је хомотопна константној функцији. (Хомотопија од f до константне функције се тада понекад назива нултом хомотопијом.) На пример, мапа f из јединичног круга S1 у било који простор X је нулто-хомотопна управо када се може континуирано проширивати на мапу из јединичног диска D2 у X који се слаже са f на граници.
Из ових дефиниција следи да је простор X контрактибилан ако и само ако је мапа идентитета из X у себе – која је увек хомотопска еквиваленција – нулто-хомотопна.
Види још Хомологија
Референце
Литература
. Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
. (Provides a popular introduction to topology and geometry)
Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78. Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, .
Спољашње везе
Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
. a historical essay by Hassler Whitney.
* Категорија:Непрекидна пресликавања