thumb|280px|Binomna distribucija za sa -{n}- i -{k}- kao u Paskalovom trougluVerovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva (-{n}- = 8) završiti u centralnoj kutiji (-{k}- = 4) je .

U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima -{n}- i -{p}- je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od -{n}- nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ -{p}-) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − -{p}-). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., -{n}- = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.

Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine -{n}- koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine -{N}-. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za -{N}- mnogo veće od -{n}-, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.

Specifikacija

Funkcija verovatnoće

Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima -{n}- ∈ -{ℕ}- i -{p}- ∈ [0,1], piše se X ~ -{B(n, p)}-. Verovatnoća da se dobije tačno -{k}- uspeha u -{n}- pokušaja je data funkcijom verovatnoće:

za -{k}- = 0, 1, 2, ..., n, gde je

binomni koeficijent,Lilavati Section 6, Chapter 4 (see ). po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. -{k}- uspeha se javlja sa verovatnoćom -{pk}- i -{n − k}- neuspeha se javlja sa verovatnoćom -{(1 − p)n − k}-. Međutim, -{k}- uspeha se može javiti bilo gde među -{n}- pokušaja, i postoji različitih načina raspodeljivanja -{k}- uspeha u nizu od -{n}- pokušaja.

Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do -{n}-/2 vrednosti. To je zato što se za -{k > n/2}-, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao

Gledajući izraz -{f(k, n, p)}- kao funkciju od -{k}-, postoji -{k}- vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se -{k}- vrednost može naći izračunavajući

i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava

-{f(k, n, p)}- je monotono rastući za -{k < M}- i monotono opadajući za -{k > M}-, uz izuzetak slučaja gde je -{(n + 1)p}- ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je -{f}- maksimalno: -{(n + 1)p}- i -{(n + 1)p − 1}-. -{M}- je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.

Funkcija kumulativne verovatnoće

Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:

gde je „pod” ispod -{k}-, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa -{k}-.

On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije, na sledeći način:

Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.

Primer

Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?

Hamilton Institute. "The Binomial Distribution" October 20, 2010.

Očekivanje

Ako je -{X ~ B(n, p)}-, drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je -{n}- ukupan broj eksperimenata, a -{p}- je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:See Proof Wiki

Na primer, ako je -{n}- = 100, i -{p}- = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.

Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji

i binomnoj teoremi:

Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine gde su sve randomne promenljive obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ( ako -{i}--ti eksperiment uspe, dok je inače ). Dobija se:

Varijansa

Varijansa je:

Dokaz: Neka je gde su sve nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je , dobija se:

Reference

Literatura

Spoljašnje veze

-{Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships}- -{Binomial distribution formula calculator }- -{Difference of two binomial variables: X-Y}- -{Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha}-

Категорија:Дискретне расподеле Категорија:Фамилија експоненцијалних расподела