мини| Попречна Меркаторова пројекција, општи случај Гаус-Кригерова или попречна Меркаторова пројекција је врста картографске пројекције, која је у ствари адаптација стандардне Меркаторове пројекције . Попречна верзија ове пројекције се широко користи у националним и међународним системима за катрирање широм свијета, укључујући УТМ . Када се упари са одговарајућим геодетским датумом, попречна Меркаторова пројекција пружа високу тачност у зонама мањим од неколико степени на истоку-западу.

Овдје је потребно дефинисати и разграничити ова два појма. Попречна Меркаторова пројекција у ширем смислу гдје попречна пројекција се разликује од опште само у смјеру пресликавања. Гаус-Кригерова пројекција је попречна Меркаторова пројекција у ужем смислу, гдје је дефинисана површ пресликавања (сјекући цилиндар), те и како се формирају карте из зони пресликавања.

Општа и попречна пројекција Попречна Меркаторова пројекција је попречни облик стандардне (или Нормалне ) Меркаторове пројекције. Обе пројекције дијеле исту математичку основу конструкције и сходно томе попречна пројекција насљеђује многе особине из општог модела пројекције:

Обе наведене пројекције су цилиндричне: за Меркаторову пројекцију, оса ваљка се поклапа са поларном осом, а линија тангентирања са екватором. За попречну Меркаторову пројекцију, оса цилиндра лежи у екваторијалној равни, а л тангентна линија представља било који изабрани меридијан, чиме је означен централни меридијан . Обе пројекције могу се модификовати у секундарне форме, што значи да је размјера смањена тако да цилиндар пролази кроз глобус модела. Обе пројекције користе за површ пресликавања сферу или елипсоид Обе пројекције су конформне, тако да размјера не зависи од смјера, а облици пресликавања су добро очувани, тј. облици држава ће бити очувани, али њихови релативни односи неће; Обе пројекције имају константну скалу на линији тангентирања (екватор за нормални Меркатор и централни меридијан за попречни).

Будући да се централни меридијан попречне Меркаторове пројекције може изабрати по вољи, он се може користити за израду високо тачних карата (уске ширине) било гдје на Земаљској кугли. Секундарни, елипсоидни облик попречног Меркатора је најшире примјењиван од свих пројекција за тачне карте ситних разјмера. Управо се то односи на Гаус-Кригерову пројекцију.

Сферна попречна Меркаторова пројекција При конструисању карте на било којој пројекцији, сфера се обично бира за моделовање Земље када обим мапираног подручја премаши дужину од неколико стотина километара у обе димензије. За картирање мањих подручја потребно је изабрати елипсоид као пројекциону површ гдје је потребна већа тачност. Сферна форма попречне Меркаторове пројекције била је једна од седам нових пројекција, које је 1772. представио Јохан Хајнрих Ламберт . . In Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, part 3, section 6) Albert Wangerin (Editor), 1894. Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften (54). Published by Wilhelm Engelmann. This is Lambert's paper with additional comments by the editor. Available at the University of Michigan Historical Math Library . Ламберт није именовао те своје пројекције; назив попречна Меркаторова пројекција потиче из друге половине деветнаестог века. Овде су представљена главна својства попречне пројекције у поређењу са својствима нормалне или опште пројекције.

Нормална и попречна сферна пројекција Општа Меркаторова пројекција Попречна Меркаторова пројекција центар|мини| Сферна општа Меркаторова пројекција (екваторијална) Меркаторова пројекција ( у = ± π, што одговара приближно 85 степени). центар|мини| Сферна попречна Меркаторова пројекција (  x =  ± π у јединицама радијуса Земље). • Централни меридијан се пројектује на праву х   =   0. Остали меридијани пројектују се као праве линије са x константним размаком. • Централни меридијан се пројектује на праву х   =   0. Меридијани, који су 90 степени источно и западно од централног меридијана пројекције, пројектује се кроз пројектоване полове. Сви остали меридијани пројектују се на компликоване криве. • Екватор се пројектује на праву линију y  = 0 и паралелни кругови пројектују се на праве линије са размаком константе  y. • Екватор се пројектује на праву линију y  = 0, али све остале паралеле су сложене затворене криве. • Пројектовани меридијани и паралеле сијеку се под правим углом. • Пројектовани меридијани и паралеле сијеку се под правим углом. • Пројекција је неограничен у правцу y-осе. Полови леже у бесконачности. • Пројекција је неограничена у x-правцу. Тачке на екватору на деведесет степени од централног меридијана пројектоване су у бесконачности. • Пројекција је конформна. Облици малих елемената су добро очувани. • Пројекција је конформна. Облици малих елемената су добро очувани. • Деформација се повећавају у смјеру y-осе. Пројекција није погодна за свјетске карте. Деформације су мале у близини екватора и пројекција (нарочито у свом елипсоидном облику) погодна је за тачно картирање екваторијалних региона. • Изобличења се повећавају у смјеру х-осе. Пројекција није погодна за свјетске карте. Деформације су мал у близини централног меридијана, а пројекција (нарочито у свом елипсоидном облику) погодна је за тачно картирање уских региона. • Гренланд је велик готово као Африка у овој пројекцији; стварна површина је око једне четрнаестине површине Африке. • Гренланд и Африка су близу централног меридијана; њихови су облици добро очувани, а однос површина добар је и приближан је стварним вриједностима. • Размјера не зависи од смјера. То је функција  y-осе на пројекцији. (На сфери зависи само од географске ширине. ) Размјера је тачна на екватору. • Размјера не зависи од смера. То је функција х-осе на пројекцији. (На сфери зависи и од географске ширине и дужине. ) Размјера је тачна на централном меридијану. • Пројекција је прилично тачна у близини екватора. Размјера на угаоном растојању од 5° (у ширини) од екватора мања је за 0,4% од размјере на екватору, а већа је за око 1,54% на угаоном растојању од 10°. • Пројекција је релативно тачна у близини централног меридијана. Размјера на угаоној удаљености од 5° (у географској дужини) од централног меридијана мања је за 0,4% од размјере на централном меридијану, а износи око 1,54% на угаоној удаљености од   10°. • У верзији секанта размјера је смањена на екватору и тачна је на две линије паралелне пројектованом екватору (и одговарају двема паралелним кружницама на сфери). • У верзији секанта размјера је смањена на централном меридијану и тачна је на две линије паралелне са пројектованим централним меридијаном. (Две линије нису меридијани. ) • Конвергенција (угао између пројектованих меридијана и линија мреже са х константом) је идентична нули. Сјевер мреже и прави сјевер се подударају. • Конвергенција је нула на екватору и није нула свуда другдје. Повећава се приближавањем полова. Сјевер мреже и прави сјевер се не поклапају. • Локсодроме (линије константног азимута на сфери) пројектују се као праве линије.

Гаус-Кригерова пројекција Елипсоидну форму попречне Меркаторове пројекције развио је Карл Фридрх Гаус 1825. године Gauss, Karl Friedrich, 1825. "Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird" Preisarbeit der Kopenhagener Akademie 1822. . [Reprinted, 1894, Ostwald’s Klassiker der Exakten Wissenschaften, no. 55: Leipzig, Wilhelm Engelmann, p. 57-81, with editing by Albert Wangerin, pp. 97-101. Also in Herausgegeben von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen in Kommission bei Julius Springer in Berlin, 1929, v. 12, pp. 1-9.] , а даље ју је анализирао Јохан Хајнрих Луис Кригер 1912. Пројекција је позната под неколико имена: Гаусова конформна пројекција или Гаус-Кригерова пројекција у Европи; попречна Меркаторова пројекција у САД; или Гаус-Кригерова попречна Меркаторова пројекција генерално. Пројекција је конформна са константном размјером на централном меридијану. (Постоје и друге конформне генерализације попречне Меркаторове пројекције од сфере до елипсоида, али само Гаус-Кригерова пројекција има константну размјеру на централном меридијану.) Током двадесетог вијека многе државе (и међународна тијела) су, у једном или другом облику, усвајале Гаус-Кригерову пројекцију; The EEA recommends the transverse Mercator for conformal pan-European mapping at scales larger than 1:500,000. која поред тога пружа основу за УТМ (енг. Universal Transverse Mercator) . Гаусс-Кригерова пројекција је сада најчешће коришћена пројекција у тачном картирању крупних размјера.Пројекција, коју су развили Гаус и Кригер, изражена је у члановима математичких редова почетних чланова за које се претпостављало да се разилазе у правцу исток-запад, тачно као и у сферној верзији. То је показао неистинитим британски картограф Е. Х. Томпсон, чија је необјављена тачна (затворена форма) верзија пројекције, коју је Л.П. Ли објавио 1976. године, доказала је, да је елипсоидна пројекција коначна (слика доље). Ово је најупечатљивија разлика између сферне и елипсоидне верзије попречне Меркаторове пројекције: Гаус – Кригерова пројекција даје разумну пројекцију цијелог елипсоида на раван, иако је његова главна примјена тачно картирање крупних разјмера „близу“ централног меридијана. центар|мини|350x350пиксел| Елипсоидна попречна Меркаторова пројекција: коначна пројекција.

Карактеристике

Близу централног меридијана пројектовања (Гринич на горе наведеној слици), пројекција има мале деформације и облици Африке, западне Европе, Британских острва, Гренланда и Антарктике повољно се упоређују са облицима на Земаљској кугли. Централни региони попречних пројекција на сфери и елипсоиду се не могу разликовати на овде приказаним малим пројекцијама. Меридијани на 90° источно и западно од изабраног централног меридијана пројектују се као водоравне линије које пролазе кроз полове. Хемисфере нису представљене вјеродостојно, те је једна од њих пројектована изнад сјеверног пола и испод јужног пола. Екватор раздваја Африку, пролази кроз Јужну Америку и затим наставља ка комплетној спољној граници пројекције; горња и доња ивица и десна и лијева ивица морају бити идентификоване (тј. представљају исте линије на глобусу). (Индонезија је подијељена на два дијела. ) Деформације се повећавају према десној и лијевој граници пројекције, али се не повећава до бесконачности. Треба се обратити пажња на острва Галапагос гдје се меридијан од 90° западно сусреће са екватором у доњем лијевом углу. Мапа је конформна, што значи да су углови у пресликавању на карту очувани. Линије које се сијеку под било којим наведеним углом на пројективној равни елипсоида, ће се сјећи и у линијама под истим углом на пројекцији. Конкретно паралеле и меридијани се сијеку под углом од 90°. Линеарна размјера независна је од правца у било којој тачки, тако да је облик малог региона прилично добро очуван. Неопходни услов је да се величина размјере не смије превише разликовати у дотичном региону. Треба имати на уму да је, иако је Јужна Америка изразито деформисана, острво Цејлон је довољно мало да би се могло разумно обликовати, иако је далеко од централног меридијана пројекције. Избор централног меридијана у великој мјери утиче на изглед пројекције. Ако се одабере 90° W, онда је разумљива цијела Америка. Ако се одабере 145° E, Далеки исток је добар, а Аустралија је оријентисана према сјеверу.