У физици (посебно у статистичкој механици), Максвел-Болцманова расподела је посебна дистрибуција вероватноће названа по Џејмсу Клерку Максвелу и Лудвигу Болцману.
Прво је дефинисана и коришћена за описивање брзина честица у идеалним гасовима, где се честице слободно крећу унутар непокретног контејнера без међусобне интеракције, изузев врло кратких судара у којима међусобно или са својим окружењем размењују енергију и моментум. Термин „честица“ у овом контексту односи се само на гасовите честице ( атоме или молекуле), а претпоставља се да је систем честица достигао термодинамичку равнотежу . (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008) Енергије таквих честица прате оно што је познато као Максвел-Болцманова статистика, а статистичка расподела брзина изведена је изједначавањем енергија честица са кинетичком енергијом .
Математички, Максвел-Болцманова расподела је хи дистрибуција са три степена слободе (компоненте вектора брзине у Еуклидовом простору), са параметром скале који мери брзине у јединицама пропорционалним квадратном корену од (однос температуре и масе честица). University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: (2008)
Максвел-Болцманова расподела резултат је кинетичке теорије гасова, која пружа поједностављено објашњење многих основних гасних својстава, укључујући притисак и дифузију . Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, (1991) (Verlagsgesellschaft), (VHC Inc.) Максвел-Болцманова расподела се у основи примењује на брзине честица у три димензије, али се испоставило да зависи само од брзине ( износа брзине) честица. Расподела вероватноће брзине честице указује на то које су брзине вероватније: честица ће имати брзину случајно одабрану из расподеле и већа је вероватноћа да ће бити унутар једног опсега брзина од другог. Кинетичка теорија гасова односи се на класични идеалан гас, који је идеализација стварних гасова. У стварним гасовима постоје различити ефекти (нпр. Ван дер Валсове интеракције, вртложни ток, релативистичка ограничења брзине и интеракције квантне размене ) који могу учинити њихову расподелу брзине другачијом од Максвел-Болцмановог модела. Међутим, разређени гасови на уобичајеним температурама понашају се готово као идеалан гас и Максвелова расподела брзине је одлична апроксимација за такве гасове. Идеалне плазме, које су јонизовани гасови са довољно малом густином, често имају и расподелу честица која је делимично или у потпуности максвеловска. N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, among many other texts on basic plasma physics
Дистрибуцију је први извео Максвел 1860. године на хеуристичким основама. See: Болцман је касније, 1870-их, спровео значајна истраживања физичког порекла ове дистрибуције.
Дистрибуција се може извести на основу тога што максимализује ентропију система. Списак извода су:
Максимална расподела вероватноће ентропије у фазном простору, са ограничењем очувања просечне енергије ; Канонски ансамбл .
Функција дистрибуције Под претпоставком да систем од интереса садржи велики број честица, удео честица унутар бесконачно малог елемента тродимензионалног простора брзине,, центриран на вектор брзине величине, је, у којима
где је маса честица и је производ Болцманове константне и термодинамичке температуре . десно|мини|340x340пиксел|Функције густине вероватноће брзине брзине неколико племенитих гасова на температури од 298,15 K (25 °C). И оса је С / М, тако да површина под било којим секције криве (која представља вероватноћу брзине бића у том опсегу) је без димензија. Елемент простора брзине можемо записати као d = d d d, за брзине у стандардном картезијанском координатном систему или као d = д d у стандардном сферном координатном систему, где d је елемент пуног угла. У овом случају, је дата као функција расподеле вероватноће, правилно нормализована тако да d преко свих брзина једнака је један. У физици плазме, расподела вероватноће се често помножи са густином честица, тако да је интеграл резултујуће функције расподеле једнак густини.
Максвелова функција расподеле за честице које се крећу само у једном смеру, ако је овај правац , је
који се могу добити интегрисањем тродимензионалне форме дане изнад и .
Препознавши симетрију , може се интегрисати преко пуног угла и написати расподела вероватноће брзина као функција
Ова функција густине вероватноће даје вероватноћу, по јединици брзине, налажења честице брзином близу . Ова једначина је једноставно Максвел-Болцманова расподела (дата у инфо кутији) са параметром расподеле . Максвел-Болцманова расподела еквивалентна је хи дистрибуцији са три степена слободе и параметром скале .
Најједноставнија обична диференцијална једначина коју задовољава расподела је:
или представљено без јединице:
Дарвин-Фовлер-овом методом средњих вредности добија се Максвел-Болцманова расподела као тачан резултат.
Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели мини|471x471пиксел|Симулација 2D гаса који се релаксира према Максвел-Болцмановој расподели брзине За честице ограничене да се крећу у равни, расподела брзине је дата са
Ова расподела се користи за опис система у равнотежи. Међутим, већина система не започиње у равнотежном стању. Еволуцијом система ка његовом равнотежном стању управља Болцманова једначина . Једначина предвиђа да ће за интеракције кратког домета равнотежна расподела брзине следити Максвел-Болцманову расподелу. Десно је симулација молекуларне динамике (МД) у којој је 900 честица тврде сфере ограничено да се креће у правоугаонику. Они комуницирају помоћу савршено еластичних судара. Систем се покреће из равнотеже, али расподела брзине (у плавој боји) брзо конвергира у 2D Максвел-Болцман расподелу (у наранџастој боји).
Типичне брзине мини|400x400пиксел|Максвел-Болцманова расподела која одговара соларној атмосфери. Масе честица су једна протонска маса, , а температура је ефективна температура сунчеве фотосфере, . означавају највероватније, средње и средње средње квадратне брзине. Њихове вредности су и . Средња брзина , највероватнија брзина ( режим) и средња квадратна брзина могу се добити из својстава Максвелове расподеле.
Ово добро функционише за готово идеалне, монатомске гасове попут хелијума, али и за молекуларне гасове попут двоатомског кисеоника . То је зато што, упркос већем топлотном капацитету (већој унутрашњој енергији при истој температури) због већег броја степени слободе, њихова транслациона кинетичка енергија (а самим тим и брзина) остаје непромењена.
}}-->Укратко, типичне брзине су повезане на следећи начин:
Средња квадратна брзина директно је повезана са брзином звука у гасу, за
где је адијабатски индекс, је број степена слободе појединачног молекула гаса. За горњи пример, двоатомни азот (приближни ваздух) на , Nitrogen at room temperature is considered a "rigid" diatomic gas, with two rotational degrees of freedom additional to the three translational ones, and the vibrational degree of freedom not accessible. и
права вредност ваздуха се може апроксимализовати коришћењем просечне моларне тежине ваздуха ( ), дајући на (корекције за променљиву влажност ваздуха су реда од 0,1% до 0,6%).
Просечна релативна брзина
где је тродимензионална расподела брзине
Интеграл се лако може извршити променом на координате и
Извођење и сродне дистрибуције
Максвел – Болцман статистика Првобитно извођење из 1860. године Џејмса Клерка Максвела био је аргумент заснован на молекуларним сударима кинетичке теорије гасова као и одређеним симетријама у функцији расподеле брзине; Максвел је такође дао рани аргумент да ови молекуларни судари имају тенденцију ка равнотежи. See: После Максвела, Лудвиг Болцман је 1872. године Boltzmann, L., , такође извео расподелу на механичким основама и тврдио да би гасови временом требало да теже ка тој расподели, услед судара (види Х-теорему ). Касније (1877) Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Translation available at: http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf је поново извео расподелу у оквиру статистичке термодинамике . Изводи у овом одељку су у складу са Болцмановим извођењем из 1877. године, почев од резултата познатог као Максвел -Болцман статистика (из статистичке термодинамике). Максвел -Болцманова статистика даје просечан број честица пронађених у датом једночестичном микростању. Под одређеним претпоставкама, логаритам фракције честица у датом микростању сразмеран је односу енергије тог стања и температуре система:
Претпоставке ове једначине су да честице не интерагују међусобно и да су класичне; то значи да се стање сваке честице може сматрати независно од стања осталих честица. Поред тога, претпоставља се да су честице у топлотној равнотежи. (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008) McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, (1994)
Ова веза се може написати као једначина увођењем нормализујућег фактора:где:
је очекивани број честица у једночестичном микростању , је укупан број честица у систему, је енергија микростања , збир над индексом узима у обзир сва микростања, је равнотежна температура система, је Болцманова константа .
Деноминатор у једначини ( 1 ) је једноставно нормализујући фактор тако да односи доприносе јединству- другим речима, то је нека врста партицијске функције (за једнопартицијски систем, а не уобичајена партицијска функција читавог система).
Будући да су брзина и велоцитет повезани са енергијом, једначина ( 1 ) се може користити за добијање односа између температуре и брзине честица гаса. Све што је потребно је открити густину микростања у енергији, која се одређује поделом простора импулса на регионе једнаке величине.
Расподела вектора импулса За потенцијалну енергију се узима нула, тако да је сва енергија у облику кинетичке енергије. Однос између кинетичке енергије и импулса за масивне нерелативистичке честице јегде је п 2 квадрат импулсног вектора p = [ п к, п и, п з ]. Стога једначину ( 1 ) можемо преписати као:где је З партицијска функција, која одговара деноминатору у једначини ( 1 ). Овде је m молекулска маса гаса, Т термодинамичка температура и k Болцманова константа . Ова дистрибуција је пропорционалан функцији густине вероватноће f п за проналажење молекула са овим вредностима компоненти импулса, па:Нормализујућа константа може се одредити препознавањем да вероватноћа молекула има одређени замах мора бити 1. Интегрисањем експоненцијала у ( 4 ) по свим pk,p y и pz добија се фактор од
Тако да је нормализована функција расподеле:Сматра се да је расподела производ три независне нормално дистрибуиране променљиве, , и, са одступањем . Поред тога, може се видети да ће величина моментума бити распоређена као Максвел-Болцманова расподела, са . Максвел-Болцманова расподела за импулс (или једнако за брзине) може се темељније добити помоћу Х-теореме у равнотежи у оквиру кинетичке теорије гасних оквира.
Расподела енергије Расподела енергије је импозантнагде је бесконачно мали запремински простор импулса фазног простора који одговара енергетском интервалу . Користећи сферну симетрију односа дисперзије енергије и импулса, ово се може изразити у на следећи начин :Користећи тада ( 8 ) у ( 7 ) и изражавајући све у смислу енергије, добијамо
Будући да је енергија пропорционална збиру квадрата три нормално распоређене компоненте импулса, ова расподела енергије може се записати еквивалентно гама расподели, користећи параметар облика, и параметар скале, .