Логика првог реда или предикативни рачун првог реда је формални систем који се користи у математици, филозофији, лингвистици и рачунарству. Овде ћемо изложити само основни и најформалнији део нужан као потпора чланцима теорије скупова. Логика првог реда Логика првог реда или предикатска логика првог реда се базира на: објектима, својствима (унарним предикатима над објектима), релацијама (н-арним предикатима над објектима), функцијама (пресликавањима објеката на објекте). Синтакса логике првог реда Исказ → ПростИсказ |Исказ Свеза Исказ |Квантификатор Променљива Исказ |¬ Реченица |(Реченица) ПростИсказ → Предикат(Објект, Објект, ...) | Објект = Објект Објект = Функција(Објект, Објект, ...) | Константа | Променљива Свеза → Квантификатор → Константа → <tekst> тј. "A" | "1" | "а" Променљива → x | y | z |... Предикат → otac| brat| poseduje| ... Функција → saberi| predji|... Објекти су: константе: <текст>, тј. 0, 1, "a", "ababa" имена функција: tj.
Исказ је предикат над једним или више објеката. Предикат је неко својство или релација међу објектима који може бити истинит или лажан. У горњим примерима значи да имају заједничког оца, да су браћа. ПростИсказ је предикат примењен на објекте. Нпр. тј. Перо поседује ауто, тј, Мујо и Суљо су браћа.
Семантика Исказа и ПростогИсказа је истина или лаж.
Свезе се користе при конструкцији (сложених) Исказа тј. Мујо и Суљо су браћа, Мујо има ауто а Суљо нема.
Квантификатори Користе се ако се Исказ односи на колекцију објеката како би се избегло бројање објеката
Универзални квантификаторr: Исказ је истинит за све вредности променљиве x.
Сви пси су сисари
Егзистенцијални квантификатор: Исказ је истинит за бар једну вредност променљиве x.
Марија има (бар једну) мачку црне боје На овом свету постоји бар једна особа која воли псе и мрзи мачке
Употреба квантификатора Универзални квантификатор се користи импликативно Све на овом свету је човек и сисар Егзистенцијални квантификатор се користи везивно: На овом свету има нешто што Јован не поседује или постоји на овом свету пас
Угнеждени квантификатори Поредак квантификатора истог типа у исказу је неважан
Поредак квантификатора различитог типа у исказу је неважан Свако воли некога, тј. свако има неког кога воли Постоји на овом свету неко кога свако воли
Подручје или зона важења променљиве Подручје или зона важења променљиве је исказ на који је квантификатор применљив. Променљива у логичком изразу се везује за најближи квантифиватор унутар исказа у коме се појављује Пси постоје и сви су жути. у је универзално квантифициран. У добро написаној формули све променљиве морају бити квантификоване: Ова формула није добро написана
Логичка веза међу квантификаторима Логичка веза међу универзалним и егзистенцијалним квантификатором:
Општеважећи идентитети:
Једнакост Једнакост се укључује као примитивни логички предикат. Примери:
Јован има два пса. Једнакост се користи овде да се обезбеди да су и различити, тј. да се искључи интерпретација да и могу бити исти пас
Сваки син има оца. Друга свеза обезбеђује да сваки син има једног оца.
Логике вишег реда У логици првог реда квантификатори су применљиви само на објекте. У логици другог реда квантификатори су применљиви само на предикате и функције: Два објекта су једнака ако и само ако имају иста својства.
Две функције су једнаке ако и само ако имају исте вредности за све могуће аргументе.
Логика трећег реда допушта квантификацију предиката, итд. На пример, предикат другог реда може бити тј. бинарни предикат је релација рефлексивности. Литература
Raymond M. Smullyan: First-order Logic, Courier Corporation, 1995 Leigh S. Cauman: First-order Logic: An Introduction, Walter de Gruyter, 1998
Спољашње везе First order logic (Cornell) First order logic (Wolfram MathWorld)
Категорија:Математичка логика