Holomorfne funkcije su kompleksne funkcije definisane na otvorenom podskupu kompleksne ravni koje su diferencijabilne. Funkcija je holomorfna u nekoj tački ako u toj tački postoji izvod te funkcije i ako je različit od nule. Funkcija je holomorfna na nekoj oblasti ako je holomorfna u svakoj tački te oblasti. Postojanje kompleksnog derivata u blizini je veoma jak uslov, jer implicira da je svaka holomorfna funkcija zapravo beskrajno diferencijabilna i jednaka, lokalno, svojoj Tejlorovoj seriji (analitička). Holomorfne funkcije su centralni predmeti proučavanja u kompleksnoj analizi.
Iako se termin analitička funkcija često upotrebljava sinonimno sa „holomorfna funkcija”", reč „analitička” je definisana u širem smislu da označi bilo koju funkciju (realnu, kompleksnu ili opštiji tip) koja se može napisati kao konvergentna stepena serija u okolini svake tačke u njenom domenu. Činjenica da su sve holomorfne funkcije kompleksne analitičke funkcije, i obrnuto, glavna je teorema u kompleksnoj analizi.Analytic functions of one complex variable , Encyclopedia of Mathematics. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)
Holomorfne funkcije se takođe ponekad nazivaju regularnim funkcijama.Springer Online Reference Books, Wolfram MathWorld Holomorfna funkcija čiji je domen cela kompleksna ravan se naziva celokupnom funkcijom. Fraza „holomorfna u tački -{z}-0” ne znači samo diferencijabilna u -{z}-0, već je diferencijabilna svuda unutar izvesne okoline -{z}-0 u kompleksnoj ravni.
Definicija thumb|Funkcija nije kompleksno-diferencijabilna u nuli, jer kao što je prikazano iznad, vrednost varira u zavisnosti od pravca iz kog se pristupa nuli. Duž realne ose, -{f}- je jednako funkciji -{g(z) = z}- i limit je 1, dok je duž imaginarne ose, -{f}- jednako -{h(z) = −z}- i limit je −1. Drugi pravci daju druge limite.
Za datu funkciju kompleksne vrednosti -{f}- jedne složene promenljive, derivat od -{f}- u tački -{z0}- u njenom domenu je definisan limesomAhlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
To je isto što i definicija derivata za realne funkcije, osim što su svi kvantiteti kompleksni. Konkretno, granica se uzima dok se kompleksni broj -{z}- približava -{z}-0, i mora imati istu vrednost za bilo koji niz složenih vrednosti za -{z}- koji prilaze -{z}-0 na kompleksnoj ravni. Ako granica postoji, kaže se da je -{f}- kompleksno-diferencijabilno u tački -{z}-0. Ovaj koncept kompleksne diferencijabilnosti deli nekoliko svojstava sa realnom diferencibilnošću: on je linearan i pokorava se pravilu proizvoda, pravilu kvocijenta i lančanom pravilu.Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
Ako je funkcija -{f}- kompleksno diferencijabilna u svakoj tački -{z}-0 u jednom otvorenom setu -{U}-, kaže se da je -{f}- holomorfna na -{U}-. Funkcija -{f}- je holomorfna u tački -{z}-0, ako je -{f}- kompleksno diferencijabilna u okolini -{z}-0.Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) Complex Analysis Springer Science & Business Media Funkcija -{f}- je holomorfna na nekom zatvorenom setu -{A}- ako je homomorfna na otvorenom setu koji sadrži -{A}-. Kao patološki ne-primer, funkcija data sa -{f(z) = |z|2}- je kompleksno diferencijabilna u tačno jednoj tački (-{z}-0 = 0), i iz tog razloga ona nije holomorfna u 0, jer ne postoji otvoreni set oko 0 na kome je -{f}- kompleksno diferencijabilna.
Odnos između realne diferencijabilnosti i kompleksne diferencijabilnosti je sledeći. Ako je kompleksna funkcija holomorfna, onda -{u}- i -{v}- imaju prve parcijalne derivate u odnosu na x i y, i zadovoljavaju Koši-Rimanove jednačine:Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
ili, ekvivalentno, Virtindžerov derivat od -{f}- u odnosu na kompleksni konjugat od -{z}- je nula:
drugim rečima -{f}- je funkcionalno nezavisna od kompleksnog konjugata od -{z}-.
Ako kontinualnost nije data, suprotno nije nužno tačno. Jednostavna suprotnost je da ako -{u}- i -{v}- imaju kontinualni prvi parcijalni derivat i zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je -{f}- holomorfna. U većoj meri zadovoljavajuću suprotnost, koja se znatno teže može dokazati, daje Luman-Menčofova teorema: ako je -{f}- kontinuirano, -{u}- i -{v}- imaju prve parcijalne derivate (mada nisu nužno kontinuirani), i oni zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je -{f}- holomorfno..
Terminologija Reč „holomorfan” su uvela dva Košijeva studenta, Briot (1817–1882) i Buke (1819–1895), i izvedena je iz grčkih reči ὅλος (-{holos}-) sa značenjem „celokupan”, i μορφή (-{morphē}-) sa značenjem „forma” ili „izgled”.
U današnje vreme, termin „holomorfna funkcija” se donekle preferira u odnosu na „analitička funkcija”, jer je kasniji pojam opštiji koncept. To je isto tako zbog važnog rezultata u kompleksnoj analizi da je svaka holomorfna funkcija kompleksno analitička, što je činjenica koja očigledno ne sledi iz definicija. Termin „analitička” je međutim isto tako u širokoj upotrebi.
Osobine
Kompleksna diferencijacija je linearna i sledi pravila proizvoda i količnika, i lančano pravilo. Stoga su sume, proizvodi i kompozicije holomorfinih funkcija holomorfne, i količnik dve holomorfne funkcije je holomorfan, gde god imenilac nije nula..
Ako se -{C}- poistoveti sa -{R}-2, onda se holomorfne funkcije podudaraju sa funkcijama sa dve realne promenljive sa kontinuiranim privim derivatima kojima se rešavaju Koši-Rimanove jednačine, setom od dve parcijalne diferencijalne jednačine.
Svaka holomorfna funkcija se može razložiti na njene stvarne i imaginarne delove, a svaki od njih je rešenje Laplasove jednačine na -{R}-2. Drugim rečima, ako se holomorfna funkcija f(z) izrazi , onda su -{u}- i -{v}- harmonične funkcije, gde je -{v}- harmonični konjugat..
Košijeva integralna teorema podrazumeva da konturni integral svake holomorfne funkcije duž petlje nestaje:
Ovde je γ ispravljiv put u jednostavno povezanom otvorenom podskupu -{U}- u kompleksnoj ravni -{C}- čija početna tačka je jednaka njenoj krajnjoj tački, i je holomorfna funkcija.
Košijeva integralna teorema navodi da svaka funkcija holomorfna unutar diska je kompletno određena svojim vrednostima na granici diska. Osim toga, ako se pretpostavi da je -{U}- otvoreni podskup od -{C}-, je holomorfna funkcija i zatvoreni disk je kompletno sadržan u -{U}-. Neka je γ krug koji formira granicu -{D}-. Onda za svako a u unutrašnjosti od -{D}-:
gde je konturni integral uzet u smeru suprotnom kazaljkama sata.
Derivat -{f′(a)}- se može napisati kao konturni integral koristeći Košijeve formule diferencijacije:
za svaku jednostavnu petlju koja se pozitivno jednom zaokreće oko a, i
za infinitezimalno pozitivne petlje γ oko a.
U regionima gde prvi derivat nije jednaka nuli, holomorfne funkcije su konformalne u smislu da čuvaju uglove i oblik (ali ne i veličine) malih figura.
Svaka holomorfna funkcija je analitička. Drugim rečima, holomorfna funkcija -{f}- ima derivate svakog reda u svakoj tački a u svom domenu, i to se podudara sa njenom sopstvenom Tejlorovom serijom u a u blizini a. Zapravo, -{f}- se podudara sa njenom Tejlorovom serijom u a u svakom disku centriranom u toj tački i leži unutra domene funkcije.
Sa algebarske tačke gledišta, set holomorfinih funkcija na otvorenom setu je komutativni prsten i kompleksni vektorski prostor. Dodatno, set holomorfnih funkcija u otvorenom setu -{U}- je integralni domen ako i samo ako je otvoreni set -{U}- povezan. Zapravo, to je lokalno konveksan topološki vektorski prostor, pri čemu su seminorme supreme na kompaktnim podsetovima.
Sa geometrijske perspektive, funkcija -{f}- je holomorfna u -{z}-0 ako i samo ako je njen spoljašnji derivat -{df}- u blizini -{U}- od -{z}-0 jednak sa -{f′(z) dz}- za neku kontinuiranu funkciju -{f′}-. Iz
sledi da je -{df′}- isto tako proporcionalno sa -{dz}-, te je stoga sam derivat -{f′}- holomorfan i -{f}- je beskonačno diferencijabilna. Slično tome, iz činjenica da je sledi da bilo koja funkcija -{f}- koja je holomorfna na jednostavno povezanom regionu -{U}- je isto tako integrabilna na -{U}-. (Za stazu γ od -{z}-0 do -{z}- koja u potpunosti leži unutar -{U}-, definisanu
u smislu teoreme Žordanove krive i generalizovane Stokesove teoreme, -{Fγ(z)}- je nezavisno od datog izbora puta γ, i stoga je -{F(z)}- dobro definisana funkcija unutar -{U}- za koji je i .)
Reference
Literatura
Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
Spoljašnje veze
Категорија:Комплексна анализа