У теорији бројева, Рамануџанов збир, који се обично означава са , је функција две позитивне целобројне променљиве q и n дефинисана формулом:
где значи да a узима само вредности узајамно просте са q.
Сриниваса Рамануџан је поменуо ове збирове у раду из 1918. године.Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums ... Ови збирови су очигледно од великог интереса, а неколико њихових својстава је већ разматрано. Али, колико ја знам, никада нису разматрани из угла који ја усвајам у овом раду; и верујем да су сви резултати које он садржи нови.(Papers, p. 179). У фусноти цитира стр. 360–370 из Дирихле-Дедекиндовог , 4. издање. Поред развоја размотрених у овом чланку, Рамануџанови збирови се користе у доказу Виноградовљеве теореме да је сваки довољно велики непаран број збир три проста броја.Nathanson, погл. 8.
Нотација За целе бројеве a и b, се чита „a дели b” и значи да постоји цео број c такав да је Слично, се чита „a не дели b”. Симбол за сумирање
значи да d пролази кроз све позитивне делитеље броја m, нпр.
је највећи заједнички делилац,
је Ојлерова фи функција,
је Мебијусова функција, а
је Риманова зета-функција.
Формуле за cq(n)
Тригонометрија Ове формуле потичу из дефиниције, Ојлерове формуле и елементарних тригонометријских идентитета.
и тако даље (, , , ,.., ,...). је увек цео број.
Клојверова формула Нека је Тада је корен једначине . Сваки његов степен,
је такође корен. Пошто их има q, они су сви корени. Бројеви где је 1 ≤ n ≤ q називају се q-ти корени јединице. се назива примитивни q-ти корен јединице јер је најмања вредност n за коју је управо q. Остали примитивни q-ти корени јединице су бројеви где је (a, q) = 1. Стога, постоји φ(q) примитивних q-тих корена јединице.
Тако је Рамануџанов збир cq(n) збир n-тих степена примитивних q-тих корена јединице.
Чињеница јеHardy & Wright, Thms 65, 66 да су степени од тачно примитивни корени за све делитеље броја q.
Пример. Нека је q = 12. Тада су
и примитивни дванаести корени јединице,
и су примитивни шести корени јединице,
и су примитивни четврти корени јединице,
и су примитивни трећи корени јединице,
је примитивни други корен јединице, и
је примитивни први корен јединице.
Стога, ако је
збир n-тих степена свих корена, примитивних и непримитивних,
и помоћу Мебијусове инверзије,
Из идентитета xq − 1 = (x − 1)(xq−1 + xq−2 + ... + x + 1) следи да је
а ово води до формуле
коју је објавио Клојвер 1906. године.G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, & B. M. Wilson, notes to On certain trigonometrical sums ..., Ramanujan, Papers, p. 343
Ово показује да је cq(n) увек цео број. Упоредите је са формулом
вон Штернекова формула Из дефиниције се лако показује да је cq(n) мултипликативна када се посматра као функција од q за фиксну вредност n:Schwarz & Spilken (1994) p.16 тј.
Из дефиниције (или Клојверове формуле) једноставно је доказати да, ако је p прост број,
и ако је pk степен простог броја где је k > 1,
Овај резултат и мултипликативно својство могу се користити да се докаже
Ово се назива вон Штернекова аритметичка функција.B. Berndt, commentary to On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, p. 371 Еквивалентност ове функције и Рамануџановог збира дугује се Хелдеру.Knopfmacher, p. 196Hardy & Wright, p. 243
Друга својства cq(n) За све позитивне целе бројеве q,
За фиксну вредност q, апсолутна вредност низа је ограничена са φ(q), а за фиксну вредност n, апсолутна вредност низа је ограничена са n.
Ако је q > 1
Нека су m1, m2 > 0, m = нзс(m1, m2). ТадаTóth, external links, eq. 6 Рамануџанови збирови задовољавају својство ортогоналности:
Нека су n, k > 0. ТадаTóth, external links, eq. 17.
познат као Брауер-Радемахеров идентитет.
Ако је n > 0 и a било који цео број, такође имамоTóth, external links, eq. 8.
што се дугује Коену. Табела + Рамануџанов збир cs(n) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 4 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 5 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 6 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 9 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 10 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 11 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 13 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 14 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 15 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 16 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 17 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 0 0 3 0 0 6 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 19 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 20 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 8 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 21 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −2 1 1 12 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 22 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 10 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 23 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 22 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 24 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 −8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0 25 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 20 0 0 0 0 −5 26 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −12 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 12 1 −1 1 −1 27 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 28 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −12 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 12 0 2 29 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 28 −1 30 −1 1 2 1 4 −2 −1 1 2 −4 −1 −2 −1 1 −8 1 −1 −2 −1 −4 2 1 −1 −2 4 1 2 1 −1 8
Рамануџанови развоји Ако је f(n) аритметичка функција (тј. функција комплексне вредности целих или природних бројева), онда се конвергентни бесконачни ред облика:
или облика:
где су ak ∈ C, назива Рамануџанов развојB. Berndt, коментар уз On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, стр. 369–371 функције f(n).
Рамануџан је пронашао развоје неких од познатих функција у теорији бројева. Сви ови резултати су доказани на "елементаран" начин (тј. само коришћењем формалних манипулација са редовима и најједноставнијих резултата о конвергенцији).Ramanujan, On certain trigonometrical sums... Већина мојих формула је "елементарна" у техничком смислу те речи — могу се (то јест) доказати комбинацијом поступака који укључују само коначну алгебру и једноставне опште теореме о бесконачним редовима(Papers, p. 179)Теорија формалних Дирихлеових редова разматрана је у Hardy & Wright, § 17.6 и у Knopfmacher.Knopfmacher, погл. 7, разматра Рамануџанове развоје као тип Фуријеових развоја у простору са унутрашњим производом који има cq као ортогоналну базу.
Развој нулте функције зависи од резултата из аналитичке теорије простих бројева, наиме да ред
конвергира ка 0, а резултати за r(n) и r′(n) зависе од теорема из ранијег рада.Ramanujan, On Certain Arithmetical Functions
Све формуле у овом одељку потичу из Рамануџановог рада из 1918. године.
Генераторне функције Генераторне функције Рамануџанових збирова су Дирихлеови редови:
је генераторна функција низа cq(1), cq(2), ... где је q константно, а
је генераторна функција низа c1(n), c2(n), ... где је n константно.
Постоји и двоструки Дирихлеов ред
Полином са Рамануџановим збировима као коефицијентима може се изразити помоћу циклотомичних полиномаNicol, p. 1
σk(n) σk(n) је делитељска функција (тј. збир k-тих степена делитеља броја n, укључујући 1 и n). σ0(n), број делитеља од n, обично се пише d(n), а σ1(n), збир делитеља од n, обично се пише σ(n).
Ако је s > 0,
Постављањем s = 1 добија се
Ако је Риманова хипотеза тачна, и
d(n) d(n) = σ0(n) је број делитеља од n, укључујући 1 и n.
где је γ = 0.5772... Ојлер-Маскеронијева константа.
φ(n) Ојлерова фи функција φ(n) је број позитивних целих бројева мањих од n и узајамно простих са n. Рамануџан дефинише њену генерализацију, ако је
проста факторизација броја n, и s је комплексни број, нека је
тако да је φ1(n) = φ(n) Ојлерова функција.Ово је Жорданова фи функција, Js(n).
Он доказује да је
и користи ово да покаже да је
За s = 1,
Приметимо да је константа инверзнаУп. Hardy & Wright, Thm. 329, који наводи да је константи у формули за σ(n).
Λ(n) Фон Манголтова функција Λ(n) = 0 осим ако је n = pk степен простог броја, у ком случају је то природни логаритам log p.
Нулта функција За све n > 0,
Ово је еквивалентно теореми о простим бројевима.Hardy, Ramanujan, p. 141B. Berndt, коментар уз On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, стр. 371
r2s(n) (збирови квадрата) r2s(n) је број начина представљања n као збира 2s квадрата, рачунајући различите редоследе и знакове као различите (нпр., r2(13) = 8, јер је 13 = (±2)2 + (±3)2 = (±3)2 + (±2)2.)
Рамануџан дефинише функцију δ2s(n) и позива се на радRamanujan, On Certain Arithmetical Functions у којем је доказао да је r2s(n) = δ2s(n) за s = 1, 2, 3, и 4. За s > 4 он показује да је δ2s(n) добра апроксимација за r2s(n).
s = 1 има посебну формулу:
У следећим формулама знаци се понављају са периодом 4.
и стога,
r′2s(n) (збирови троугаоних бројева) је број начина на које се n може представити као збир 2s троугаоних бројева (тј. бројева 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; n-ти троугаони број је дат формулом n(n + 1)/2.)
Анализа је овде слична оној за квадрате. Рамануџан се позива на исти рад као и за квадрате, где је показао да постоји функција таква да је за s = 1, 2, 3, и 4, и да је за s > 4, добра апроксимација за
Опет, s = 1 захтева посебну формулу:
Ако је s дељиво са 4,
Стога,
Збирови Нека је
Тада за s > 1,
Види још Гаусов период Клостерманов збир
Напомене
Референце
.
(стр. 179–199 његових Collected Papers)
(стр. 136–163 његових Collected Papers)
Спољашње везе
Категорија:Теорија бројева Категорија:Квадрати у теорији бројева Категорија:Сриниваса Рамануџан