У геометрији, Џонсоново тело је конвексни полиедар чије су све стране правилни многоуглови. Понекад се назива и Џонсон-Залгалерово тело. Неки аутори из дефиниције искључују униформне полиедре (код којих су сва темена симетрична једно другом); униформни полиедри укључују Платонска и Архимедова тела, као и призме и антипризме.

Џонсонова тела су названа по америчком математичару Норману Џонсону (1930–2017), који је 1966. објавио списак од 92 неуниформна Џонсонова полиедра. Његову претпоставку да је списак потпун и да не постоје други примери доказао је руско-израелски математичар Виктор Залгалер (1920–2020) 1969. године.

Седамнаест Џонсонових тела се могу категорисати као елементарни полиедри, што значи да се не могу раздвојити равни како би се створила два мања конвексна полиедра са правилним странама. Првих шест Џонсонових тела задовољава овај критеријум: једнакостранична квадратна пирамида, петострана пирамида, тространа купола, квадратна купола, петострана купола и петострана ротунда. Критеријум такође задовољава још једанаест Џонсонових тела: трисмањени икосаедар, парабисмањени ромбикосидодекаедар, трисмањени ромбикосидодекаедар, уврнути дисфеноид, уврнута квадратна антипризма, сфенокорона, сфеномегакорона, хебесфеномегакорона, дисфеноцингулум, билунабиротунда и тространа хебесфеноротунда. Остала Џонсонова тела нису елементарна и конструишу се коришћењем првих шест Џонсонових тела заједно са Платонским и Архимедовим телима у различитим процесима. Аугментација (повећање) подразумева додавање Џонсонових тела на једну или више страна полиедара, док елонгација (издуживање) или гироелонгација (уврнуто издуживање) подразумевају њихово спајање са базама призме, односно антипризме. Нека друга се конструишу диминуцијом (смањењем), уклањањем једног од првих шест тела са једне или више страна полиедра.

Следећа табела садржи 92 Џонсонова тела, са дужином ивице . Табела укључује нумерацију тела (означену као ). Такође укључује број темена, ивица и страна сваког тела, као и његову групу симетрије, површину и запремину . Сваки полиедар има своје карактеристике, укључујући симетрију и мере. За објекат се каже да има симетрију ако постоји трансформација која га пресликава у самог себе. Све те трансформације могу се саставити у групу, а број елемената групе назива се ред. У дводимензионалном простору, ове трансформације укључују ротацију око центра многоугла и рефлексију објекта у односу на симетралу странице многоугла. Многоугао који је ротационо симетричан за означава се са , циклична група реда ; комбиновањем овога са рефлексионом симетријом добија се симетрија диедарске групе реда . У тродимензионалним тачкастим групама симетрије, трансформације које чувају симетрију полиедра укључују ротацију око линије која пролази кроз центар базе, познате као оса симетрије, и рефлексију у односу на нормалне равни које пролазе кроз симетралу базе, што је познато као пирамидална симетрија реда . Трансформација која чува симетрију полиедра рефлектујући га преко хоризонталне равни позната је као призматична симетрија реда . Антипризматична симетрија реда чува симетрију ротирањем доње половине и рефлексијом преко хоризонталне равни. Група симетрије реда чува симетрију ротацијом око осе симетрије и рефлексијом на хоризонталној равни; специфичан случај који чува симетрију једном пуном ротацијом је реда 2, често означаван као . Мерење полиедара укључује површину и запремину. Површина је дводимензионална мера; за полиедар, површина је збир површина свих његових страна. Запремина је мера простора у три димензије. Запремина полиедра се може утврдити на различите начине: или преко његове базе и висине (као код пирамида и призми), сечењем на делове и сабирањем њихових појединачних запремина, или проналажењем нуле полинома који представља полиедар.

+ 92 Џонсонова тела Назив тела Слика Темена Ивице Стране Група симетрије и њен ред Површина и запремина 1 Једнакостранична квадратна пирамида 100px 5 8 5 реда 8 2 Петострана пирамида 100px 6 10 6 реда 10 3 Тространа купола 100px 9 15 8 реда 6 4 Квадратна купола 100px 12 20 10 реда 8 5 Петострана купола 100px 15 25 12 реда 10 6 Петострана ротунда 100px 20 35 17 реда 10 7 Издужена тространа пирамида 100px 7 12 7 реда 6 8 Издужена квадратна пирамида 100px 9 16 9 реда 8 9 Издужена петострана пирамида 100px 11 20 11 реда 10 10 Уврнуто издужена квадратна пирамида 100px 9 20 13 реда 8 11 Уврнуто издужена петострана пирамида 100px 11 25 16 реда 10 12 Тространа бипирамида 100px 5 9 6 реда 12 13 Петострана бипирамида 100px 7 15 10 реда 20 14 Издужена тространа бипирамида 100px 8 15 9 реда 12 15 Издужена квадратна бипирамида 100px 10 20 12 реда 16 16 Издужена петострана бипирамида 100px 12 25 15 реда 20 17 Уврнуто издужена квадратна бипирамида 100px 10 24 16 реда 16 18 Издужена тространа купола 100px 15 27 14 реда 6 19 Издужена квадратна купола 100px 20 36 18 реда 8 20 Издужена петострана купола 100px 25 45 22 реда 10 21 Издужена петострана ротунда 100px 30 55 27 реда 10 22 Уврнуто издужена тространа купола 100px 15 33 20 реда 6 23 Уврнуто издужена квадратна купола 100px 20 44 26 реда 8 24 Уврнуто издужена петострана купола 100px 25 55 32 реда 10 25 Уврнуто издужена петострана ротунда 100px 30 65 37 реда 10 26 Гиробифастигијум 100px 8 14 8 реда 8 27 Тространа ортобикупола 100px 12 24 14 реда 12 28 Квадратна ортобикупола 100px 16 32 18 реда 16 29 Квадратна гиробикупола 100px 16 32 18 реда 16 30 Петострана ортобикупола 100px 20 40 22 реда 20 31 Петострана гиробикупола 100px 20 40 22 реда 20 32 Петострана ортокуполаротунда 100px 25 50 27 реда 10 33 Петострана гирокуполаротунда 100px 25 50 27 реда 10 34 Петострана ортобиротунда 100px 30 60 32 реда 20 35 Издужена тространа ортобикупола 100px 18 36 20 реда 12 36 Издужена тространа гиробикупола 100px 18 36 20 реда 12 37 Издужена квадратна гиробикупола 100px 24 48 26 реда 16 38 Издужена петострана ортобикупола 100px 30 60 32 реда 20 39 Издужена петострана гиробикупола 100px 30 60 32 реда 20 40 Издужена петострана ортокуполаротунда 100px 35 70 37 реда 10 41 Издужена петострана гирокуполаротунда 100px 35 70 37 реда 10 42 Издужена петострана ортобиротунда 100px 40 80 42 реда 20 43 Издужена петострана гиробиротунда 100px 40 80 42 реда 20 44 Уврнуто издужена тространа бикупола 100px 18 42 26 реда 6 45 Уврнуто издужена квадратна бикупола 100px 24 56 34 реда 8 46 Уврнуто издужена петострана бикупола 100px 30 70 42 реда 10 47 Уврнуто издужена петострана куполаротунда 100px 35 80 47 реда 5 48 Уврнуто издужена петострана биротунда 100px 40 90 52 реда 10 49 Повећана тространа призма 100px 7 13 8 реда 4 50 Двоструко повећана тространа призма 100px 8 17 11 реда 4 51 Троструко повећана тространа призма 100px 9 21 14 реда 12 52 Повећана петострана призма 100px 11 19 10 реда 4 53 Двоструко повећана петострана призма 100px 12 23 13 реда 4 54 Повећана шестострана призма 100px 13 22 11 реда 4 55 Пара-двоструко повећана шестострана призма 100px 14 26 14 реда 8 56 Мета-двоструко повећана шестострана призма 100px 14 26 14 реда 4 57 Троструко повећана шестострана призма 100px 15 30 17 реда 12 58 Повећани додекаедар 100px 21 35 16 реда 10 59 Пара-двоструко повећани додекаедар 100px 22 40 20 реда 20 60 Мета-двоструко повећани додекаедар 100px 22 40 20 реда 4 61 Троструко повећани додекаедар 100px 23 45 24 реда 6 62 Мета-двоструко смањени икосаедар 100px 10 20 12 реда 4 63 Троструко смањени икосаедар 100px 9 15 8 реда 6 64 Повећани троструко смањени икосаедар 100px 10 18 10 реда 6 65 Повећани зарубљени тетраедар 100px 15 27 14 реда 6 66 Повећана зарубљена коцка 100px 28 48 22 реда 8 67 Двоструко повећана зарубљена коцка 100px 32 60 30 реда 16 68 Повећани зарубљени додекаедар 100px 65 105 42 реда 10 69 Пара-двоструко повећани зарубљени додекаедар 100px 70 120 52 реда 20 70 Мета-двоструко повећани зарубљени додекаедар 100px 70 120 52 реда 4 71 Троструко повећани зарубљени додекаедар 100px 75 135 62 реда 6 72 Уврнути ромбикосидодекаедар 100px 60 120 62 реда 10 73 Пара-двоструко уврнути ромбикосидодекаедар 100px 60 120 62 реда 20 74 Мета-двоструко уврнути ромбикосидодекаедар 100px 60 120 62 реда 4 75 Троструко уврнути ромбикосидодекаедар 100px 60 120 62 реда 6 76 Смањени ромбикосидодекаедар 100px 55 105 52 реда 10 77 Пара-уврнути смањени ромбикосидодекаедар 100px 55 105 52 реда 10 78 Мета-уврнути смањени ромбикосидодекаедар 100px 55 105 52 реда 2 79 Двоструко уврнути смањени ромбикосидодекаедар 100px 55 105 52 реда 2 80 Пара-двоструко смањени ромбикосидодекаедар 100px 50 90 42 реда 20 81 Мета-двоструко смањени ромбикосидодекаедар 100px 50 90 42 реда 4 82 Уврнути двоструко смањени ромбикосидодекаедар 100px 50 90 42 реда 2 83 Троструко смањени ромбикосидодекаедар 100px 45 75 32 реда 6 84 Уврнути дисфеноид 100px 8 18 12 реда 8 85 Уврнута квадратна антипризма 100px 16 40 26 реда 16 86 Сфенокорона 100px 10 22 14 реда 4 87 Повећана сфенокорона 100px 11 26 17 реда 2 88 Сфеномегакорона 100px 12 28 18 реда 4 89 Хебесфеномегакорона 100px 14 33 21 реда 4 90 Дисфеноцингулум 100px 16 38 24 реда 8 91 Билунабиротунда 100px 14 26 14 реда 8 92 Тространа хебесфеноротунда 100px 18 36 20 реда 6

Референце

Додатна литература

Спољашње везе

Категорија:Спискови облика