У математичкој анализи, неједнакост Минковског утврђује да простори задовољавају неједнакост троугла у дефиницији нормираних векторских простора. Неједнакост је названа по немачком математичару Херману Минковском.
Нека је простор са мером, нека је и нека су и елементи Тада је у и имамо неједнакост троугла
са једнакошћу за ако и само ако су и позитивно линеарно зависни; то јест, за неко или Овде је норма дата са:
ако је или у случају есенцијалним супремумом
Неједнакост Минковског је неједнакост троугла у У ствари, то је посебан случај општије чињенице
где је лако видети да десна страна задовољава неједнакост троугла.
Као и Хелдерова неједнакост, неједнакост Минковског се може специјализовати за низове и векторе коришћењем мере пребројавања:
за све реалне (или комплексне) бројеве и где је кардиналност скупа (број елемената у ).
У терминима вероватноће, за дати простор вероватноће и где означава оператор очекивања, за сваку реалну или комплексно вредновану случајну променљиву и на неједнакост Минковског гласи
Доказ
Доказ помоћу Хелдерове неједнакости Прво, доказујемо да има коначну -норму ако је имају и и , што следи из
Заиста, овде користимо чињеницу да је конвексна функција над (за ) и тако, по дефиницији конвексности,
Ово значи да
Сада можемо легитимно говорити о . Ако је нула, онда неједнакост Минковског важи. Сада претпостављамо да није нула. Користећи неједнакост троугла, а затим Хелдерову неједнакост, налазимо да
Добијамо неједнакост Минковског множењем обе стране са
Доказ директним аргументом конвексности
За дато , имамо, по конвексности (Јенсенова неједнакост), за свако
Интеграцијом ово води до
Затим се узима
да би се дошло до закључка.
Интегрална неједнакост Минковског
Претпоставимо да су и два сигма-коначна простора са мером и да је мерљива функција. Тада интегрална неједнакост Минковског гласи:
са очигледним модификацијама у случају Ако је и обе стране су коначне, онда једнакост важи само ако је скоро свуда за неке ненегативне мерљиве функције и .
Ако је мера пребројавања на двотачкастом скупу тада интегрална неједнакост Минковског даје уобичајену неједнакост Минковског као посебан случај: за за интегрална неједнакост даје
Ако је мерљива функција ненегативна, онда за све
Ова нотација је генерализована на
за са Користећи ову нотацију, манипулација експонентима открива да, ако је онда је .
Обратна неједнакост
Када је , важи обратна неједнакост:
Даље нам је потребно ограничење да су и и ненегативне, као што можемо видети из примера и
Обратна неједнакост следи из истог аргумента као и стандардна неједнакост Минковског, али користи чињеницу да је и Хелдерова неједнакост такође обрнута у овом опсегу.
Користећи обрнуту неједнакост Минковског, можемо доказати да су степенске средине са као што су хармонијска средина и геометријска средина, конкавне.
Генерализације на друге функције
Неједнакост Минковског се може генерализовати на друге функције изван функције степена . Генерализована неједнакост има облик
Различите довољне услове за су пронашли Mulholland и други. На пример, за један скуп довољних услова од Mulholland-а је је непрекидна и строго растућа са је конвексна функција од је конвексна функција од
Види још
Коши-Шварцова неједнакост Хелдерова неједнакост Малерова неједнакост Јангова неједнакост за конволуцију Јангова неједнакост за производе
Референце
Литература
. Vol. 343.
. .
Додатна литература
Категорија:Неједнакости (математика) Категорија:Теорија мере Категорија:Lp простори Категорија:Чланци са кратким описом