мини|Хомоморфизам групе из групе у групу је илустрован, при чему су групе представљене плавим овалом са леве стране и жутим кругом са десне. Језгро хомоморфизма је црвени круг са леве стране, пошто га пресликава у неутрал 1 групе . мини|300x300п|Пример језгра – линеарни оператор пресликава све тачке на правој у нулту тачку , па оне чине језгро линеарног оператора.

У алгебри, језгро (или кернел) хомоморфизма је релација која описује како елементи у домену хомоморфизма постају повезани у слици. Хомоморфизам је функција која чува основну алгебарску структуру из свог домена у својој слици.

Када укључене алгебарске структуре имају основну структуру групе, језгро се дефинише као инверзна слика неутрала групе у слици, то јест, састоји се од елемената домена који се пресликавају у неутрал слике. На пример, пресликавање које сваком целом броју додељује његову парност (то јест, 0 ако је број паран, 1 ако је непаран) представља хомоморфизам у целе бројеве по модулу 2, а његово језгро би били парни цели бројеви, који сви имају парност 0. Језгро хомоморфизма структура сличних групама садржаће само неутрал ако и само ако је хомоморфизам инјективан, то јест, ако се инверзна слика сваког елемента састоји од једног елемента. То значи да се језгро може посматрати као мера степена до којег хомоморфизам није инјективан.

За неке типове структура, као што су Абелове групе и векторски простори, могућа језгра су тачно подструктуре истог типа. То није увек случај, па су нека језгра добила посебна имена, као што су нормалне подгрупе за групе и двострани идеали за прстенове. Концепт језгра је проширен на структуре код којих инверзна слика једног елемента није довољна да се одреди да ли је хомоморфизам инјективан. У тим случајевима, језгро је релација конгруенције.

Језгра омогућавају дефинисање количничких објеката (такође названих количничке алгебре у универзалној алгебри). За многе типове алгебарских структура, основна теорема о хомоморфизмима (или прва теорема о изоморфизму) каже да је слика хомоморфизма изоморфна количнику по језгру.

Дефиниција

Хомоморфизми група Група је скуп са бинарном операцијом која задовољава следећа три својства за све : Асоцијативност: Неутрал: Постоји тако да је Инверзни елемент: За свако постоји тако да је Група се назива Абеловом ако такође задовољава .

Нека су и групе. Хомоморфизам групе из у је функција таква да је за све . (Ради једноставности, симбол операције је изостављен.) Ако је неутрал групе , онда је језгро од инверзна слика једночланог скупа ; то јест, подскуп од који се састоји од свих елемената из који се пресликавањем пресликавају у елемент .

Језгро се обично означава са (или варијацијом). Симболички:

Пошто хомоморфизам групе чува неутрале, неутрал групе мора припадати језгру. Хомоморфизам је инјективан ако и само ако је његово језгро само једночлани скуп .

је подгрупа од и штавише, то је нормална подгрупа. Дакле, постоји одговарајућа количничка група . Она је изоморфна , слици групе под (која је такође подгрупа од ), према првој теореми о изоморфизму за групе.

Хомоморфизми прстенова Прстен са јединицом је скуп са две бинарне операције и које задовољавају: са је Абелова група са неутралом . Множење је асоцијативно. Дистрибутивност: и за све Множење има неутрал .

Прстен је комутативан ако је множење комутативно, а такав прстен је поље када сваки има мултипликативни инверз, то јест, неко такво да је . Нека су и прстенови. Хомоморфизам прстенова из у је функција која задовољава за све :

Језгро од је језгро у смислу адитивних група. То је инверзна слика нултог идеала , односно подскуп од који се састоји од свих елемената из који се пресликавају у елемент . Језгро се обично означава са (или варијацијом). Симболички:

Пошто хомоморфизам прстенова чува нулте елементе, нулти елемент из мора припадати језгру. Хомоморфизам је инјективан ако и само ако је његово језгро само једночлани скуп . Ово је увек случај ако је поље, а није нулти прстен.

Пошто садржи мултипликативни неутрал само када је нулти прстен, испоставља се да језгро углавном није потпрстен од . Језгро је под-„прстен” без јединице (rng), и прецизније, двострани идеал у . Стога, има смисла говорити о количничком прстену . Прва теорема о изоморфизму за прстенове каже да је овај количнички прстен природно изоморфан слици хомоморфизма (која је потпрстен од ).

Линеарна пресликавања мини|300п|Језгро и слика линеарног пресликавања из у

За дато поље , векторски простор (над ) је Абелова група (са бинарном операцијом и неутралом ) са скаларним множењем из које задовољава за све и :

Нека су и векторски простори над пољем . Линеарно пресликавање (или линеарна трансформација) из у је функција која задовољава за све и :

Ако је нулти вектор из , онда је језгро од (или нулти простор) инверзна слика нултог потпростора ; то јест, подскуп од који се састоји од свих елемената из који се пресликавањем пресликавају у елемент . Језгро се означава као , или неком варијацијом, и симболички се дефинише као:

Пошто линеарно пресликавање чува нулте векторе, нулти вектор из мора припадати језгру. Трансформација је инјективна ако и само ако је њено језгро сведено на нулти потпростор.

Језгро је увек линеарни потпростор од . Стога, има смисла говорити о количничком простору . Прва теорема о изоморфизму за векторске просторе каже да је овај количнички простор природно изоморфан слици од (која је потпростор од ). Као последица, димензија од једнака је збиру димензије језгра и димензије слике.

Хомоморфизми модула Нека је прстен. Модули над се дефинишу потпуно исто као векторски простори над пољем, користећи исте аксиоме, осим што се поље замењује прстеном. Заправо, модул над пољем је исто што и векторски простор над пољем. Нека су и -модули. Хомоморфизам модула из у је такође функција која задовољава исте аналогне особине као линеарно пресликавање. Језгро од се дефинише као:

Свако језгро је подмодул доменског модула, што значи да увек садржи 0, адитивни неутрал модула. Језгра Абелових група се могу сматрати посебном врстом језгара модула када је основни прстен скуп целих бројева.

Примери

Хомоморфизми група Нека је циклична група са 6 елемената са модуларним сабирањем, циклична група са 2 елемента са модуларним сабирањем, и хомоморфизам који пресликава сваки елемент у елемент по модулу 2 у . Тада је , пошто се сви ови елементи пресликавају у . Количничка група има два елемента: и , и изоморфна је са .

За изоморфизам , имамо . Са друге стране, ако је ово пресликавање само хомоморфизам где је H тривијална група, онда је за све , па је стога .

Нека је пресликавање дефинисано као . Ово је хомоморфизам чије се језгро састоји тачно од тачака облика . Ово пресликавање се сматра „пројекцијом на x-осу”. Сличан феномен се дешава са пресликавањем дефинисаним као , где је језгро скуп тачака облика

За не-Абелов пример, нека означава кватернионску групу, а Клајнову 4-групу. Дефинишимо пресликавање као:

Ово пресликавање је хомоморфизам где је .

Нека означава кружну групу, која се састоји од свих комплексних бројева са апсолутном вредношћу (или модулом) , где је операција групе множење. Тада је функција sending хомоморфизам чије је језгро скуп целих бројева. Прва теорема о изоморфизму тада имплицира да је .

Симетрична група над елемената, , има сурјективни хомоморфизам који сваку пермутацију пресликава у парност броја транспозиција чији је производ та пермутација. Алтернирајућа група је језгро овог хомоморфизма, и састоји се од парних пермутација. Алтернирајућа група је не-Абелова проста група за .

Детерминанта инвертибилних матрица над реалним бројевима , чији се скуп означава са и назива општа линеарна група матрица над , је хомоморфизам на мултипликативну групу (која се састоји од свих ненултих реалних бројева), а језгро детерминанте се назива специјална линеарна група матрица над . То су матрице чија је детерминанта тачно .

За дату групу и елемент, пресликавање је аутоморфизам – изоморфизам чији су домен и слика иста група. Ово даје хомоморфизам из у њену групу аутоморфизама , пресликавајући свако у одговарајући унутрашњи аутоморфизам као што је описано, а језгро овог хомоморфизма је центар групе , који се састоји од таквих да за свако имамо , или еквивалентно . Уопштеније, за сваку нормалну подгрупу од (тј. групе затворене под коњугацијом), ово пресликавање коњугације је такође аутоморфизам на , дајући још један хомоморфизам у , чије је језгро централизатор од у , што је скуп таквих да за свако имамо .

Хомоморфизми прстенова

Размотримо пресликавање где је други прстен скуп целих бројева по модулу 2, а пресликавање шаље сваки број у његову парност; 0 за парне бројеве, и 1 за непарне. Ово пресликавање је хомоморфизам, и пошто је адитивни неутрал другог прстена 0, језгро је тачно скуп парних бројева.

Нека је дефинисано као . Ово пресликавање, које је хомоморфизам, шаље сваки полином у његов константни члан. Оно пресликава полином у нулу акко је константни члан тог полинома 0. Полиноми са реалним коефицијентима могу имати сличан хомоморфизам, чије је језгро скуп полинома са константним чланом 0.

Линеарна пресликавања Нека је дефинисано као . Тада ће језгро од (то јест, нулти простор) бити скуп тачака таквих да је , и овај скуп је потпростор од (исто важи за свако језгро линеарног пресликавања).

Ако представља оператор извода на реалним полиномима, онда ће се језгро од састојати од полинома са изводом једнаким 0, то јест, од константних функција.

Размотримо пресликавање , где је полином са реалним коефицијентима. Тада је линеарно пресликавање чије је језгро тачно 0, пошто је 0 једини полином који задовољава за све .

Количничке алгебре Језгро хомоморфизма се може користити за дефинисање количничке алгебре. Нека су и групе, хомоморфизам групе, и означимо . Дефинишимо као скуп влакана хомоморфизма , где је влакно скуп тачака из домена које се пресликавају у исту тачку у кодомену. Нека означава влакно елемента , тада се на скупу влакана може увести операција групе дефинисана као , и се назива количничка група (или фактор група), што се чита као „G по K” или „G мод K”. Терминологија потиче од чињенице да језгро представља влакно неутрала кодомена, , а да су остали елементи једноставно „транслације” језгра, па се количничка група добија „дељењем” језгра.

Влакна се такође могу описати посматрањем домена у односу на језгро; за дато и било који елемент , важи где је:

ови скупови се називају леви и десни косети, респективно, и могу се дефинисати уопштено за било коју подгрупу од . Операција групе се тада може дефинисати као , што је добро дефинисано без обзира на избор представника влакана.

Према првој теореми о изоморфизму, постоји изоморфизам , где је друга група слика хомоморфизма , а изоморфизам је дефинисан као , и такво пресликавање је такође добро дефинисано.

За прстенове, модуле, и векторске просторе, могуће је дефинисати одговарајуће количничке алгебре преко основне адитивне структуре групе, са косетима представљеним као . Множење у прстену се може дефинисати на количничкој алгебри као , и оно је добро дефинисано. За прстен (евентуално поље када се описују векторски простори) и хомоморфизам модула са језгром , може се дефинисати скаларно множење на са за и , што ће такође бити добро дефинисано.

Структуре језгара