У физици, тополошки ред описује стање или фазу материје која настаје у систему са нелокалним интеракцијама, као што је спрегнутост у квантној механици и флексибилни модови у еластичним системима. Док класичне фазе материје, попут гасова и чврстих тела, одговарају микроскопским обрасцима у просторном распореду честица који проистичу из краткодометних интеракција, тополошки редови одговарају обрасцима дугодометне квантне спрегнутости. Стања са различитим тополошким редовима (или различитим обрасцима дугодометних спрегнутости) не могу прећи једно у друго без фазне транзиције.
Технички, тополошки ред се јавља на нултој температури. Разна тополошки уређена стања имају занимљиве особине, као што су (1) дегенерација основног стања и фракциона статистика или неабелова статистика која се може користити за реализацију тополошког квантног рачунара; (2) савршено проводљива ивична стања која могу имати важне примене у уређајима; (3) појава гејџ поља и Фермијеве статистике, што сугерише квантно-информационо порекло елементарних честица; (4) тополошка ентропија спрегнутости која открива спрегнутосно порекло тополошког реда, итд. Тополошки ред је важан у проучавању неколико физичких система као што су спинске течности, и квантни Холов ефекат, заједно са потенцијалним применама у квантном рачунарству отпорном на грешке.
Тополошки изолатори и тополошки суперпроводници (изнад 1Д) немају тополошки ред како је горе дефинисано, јер су њихове спрегнутости само краткодометне, већ су примери симетријски заштићеног тополошког реда.
Позадина
Материја састављена од атома може имати различите особине и појављивати се у различитим облицима, као што су чврсто, течно, суперфлуид, итд. Ови различити облици материје се често називају стања материје или фазе. Према физици кондензоване материје и принципу емерегентности, различите особине материјала генерално проистичу из различитих начина на које су атоми организовани у материјалима. Те различите организације атома (или других честица) формално се називају редови у материјалима.
Атоми се могу организовати на много начина, што доводи до много различитих редова и много различитих врста материјала. Ландауова теорија нарушавања симетрије пружа опште разумевање ових различитих редова. Она истиче да различити редови заправо одговарају различитим симетријама у организацији саставних атома. Када материјал прелази из једног реда у други (тј. када материјал пролази кроз фазни прелаз), оно што се дешава јесте промена симетрије организације атома.
На пример, атоми имају насумичан распоред у течности, тако да течност остаје иста када померимо атоме за произвољно растојање. Кажемо да течност има континуалну транслациону симетрију. Након фазне транзиције, течност се може претворити у кристал. У кристалу, атоми се организују у правилан низ (решетку). Решетка остаје непромењена само када је померимо за одређено растојање (цео број пута константа решетке), тако да кристал има само дискретну транслациону симетрију. Фазна транзиција између течности и кристала је транзиција која смањује континуалну транслациону симетрију течности на дискретну симетрију кристала. Слично важи и за ротациону симетрију. Таква промена симетрије назива се нарушавање симетрије. Суштина разлике између течности и кристала је, дакле, у томе што организације атома имају различите симетрије у ове две фазе.
Ландауова теорија нарушавања симетрије је веома успешна теорија. Дуго времена, физичари су веровали да Ландауова теорија описује све могуће редове у материјалима и све могуће (континуалне) фазне транзиције.
Откриће и карактеризација Међутим, од касних 1980-их, постепено је постало очигледно да Ландауова теорија нарушавања симетрије можда не описује све могуће редове. У покушају да се објасни високотемпературна суперпроводљивост уведено је хирално спинско стање. У почетку, физичари су и даље желели да користе Ландауову теорију нарушавања симетрије да опишу хирално спинско стање. Идентификовали су га као стање које нарушава симетрију временске реверзије и парности, али не и симетрију ротације спина. Према Ландауовом опису редова, то би требало да буде крај приче. Међутим, брзо је схваћено да постоји много различитих хиралних спинских стања која имају потпуно исту симетрију, тако да симетрија сама по себи није била довољна да се окарактеришу различита хирална спинска стања. То значи да хирална спинска стања садрже нову врсту реда која је изван уобичајеног описа симетрије.Xiao-Gang Wen, Phys. Rev. B, 40, 7387 (1989), „Vacuum Degeneracy of Chiral Spin State in Compactified Spaces” Предложена, нова врста реда названа је „тополошки ред”. Назив „тополошки ред” мотивисан је нискоенергетском ефективном теоријом хиралних спинских стања, која је тополошка квантна теорија поља (ТКТП).Atiyah, Michael (1988), „Topological quantum field theories”, Publications Mathe'matiques de l'IHéS (68): 175, , , http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0Witten, Edward (1988), , Communications in Mathematical Physics : 353, , , http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738 Уведени су нови квантни бројеви, као што су дегенерација основног стања (која се може дефинисати на затвореном простору или отвореном простору са процепљеним границама, укључујући и Абелове тополошке редове и неабелове тополошке редове) и неабелова геометријска фаза дегенерисаних основних стања, како би се окарактерисали и дефинисали различити тополошки редови у хиралним спинским стањима. Скорије је показано да се тополошки редови такође могу карактерисати тополошком ентропијом.
Међутим, експерименти су убрзо показали да хирална спинска стања не описују високотемпературне суперпроводнике, па је теорија тополошког реда постала теорија без експерименталне реализације. Ипак, сличност између хиралних спинских стања и стања квантног Холовог ефекта омогућава да се теорија тополошког реда користи за описивање различитих стања квантног Холовог ефекта. Баш као и хирална спинска стања, различита стања квантног Холовог ефекта имају исту симетрију и налазе се изван Ландауовог описа нарушавања симетрије. Утврђено је да се различити редови у различитим стањима квантног Холовог ефекта заиста могу описати тополошким редовима, па тополошки ред ипак има експерименталне реализације.
Стање фракционог квантног Холовог (ФКХ) ефекта откривено је 1982. године пре увођења концепта тополошког реда 1989. године. Али ФКХ стање није прво експериментално откривено тополошки уређено стање. Суперпроводник, откривен 1911. године, прво је експериментално откривено тополошки уређено стање; оно има Z2 тополошки ред.
Иако се тополошки уређена стања обично појављују у системима са јаким интеракцијама бозона/фермиона, једноставна врста тополошког реда може се појавити и у системима слободних фермиона. Ова врста тополошког реда одговара целобројном квантном Холовом стању, које се може карактерисати Черновим бројем попуњене енергетске траке ако посматрамо целобројно квантно Холово стање на решетки. Теоријски прорачуни су предложили да се такви Чернови бројеви могу експериментално измерити за систем слободних фермиона. Такође је добро познато да се такав Чернов број може измерити (можда индиректно) помоћу ивичних стања.
Најважнија карактеризација тополошких редова биле би основне фракционализоване ексцитације (као што су аниони) и њихова статистика фузије и уплитања (која може превазићи квантну статистику бозона или фермиона). Тренутна истраживања показују да за тополошке редове у 3+1 димензионалном простор-времену постоје ексцитације налик петљама и струнама, а њихова статистика уплитања више петљи/струна кључни је показатељ за идентификацију 3+1 димензионалних тополошких редова. Статистика уплитања више петљи/струна 3+1 димензионалних тополошких редова може се обухватити инваријантама веза одређене тополошке квантне теорије поља у 4 просторно-временске димензије.
Механизам
Велика класа 2+1Д тополошких редова реализује се кроз механизам назван кондензација стринг-мреже Ова класа тополошких редова може имати процепљену ивицу и класификује се теоријом унитарне фузионе категорије (или моноидалне категорије). Утврђено је да кондензација стринг-мреже може генерисати бесконачно много различитих типова тополошких редова, што може указивати на то да постоји много различитих нових врста материјала које тек треба открити.
Колективна кретања кондензованих струна доводе до ексцитација изнад кондензованих стања стринг-мреже. Те ексцитације се испостављају као гејџ бозони. Крајеви струна су дефекти који одговарају другој врсти ексцитација. Те ексцитације су гејџ наелектрисања и могу носити Фермијеву или фракциону статистику.
Кондензације других проширених објеката као што су „мембране”, „бран-мреже”, и фрактали такође доводе до тополошки уређених фаза; Topological Orders and Chern–Simons Theory in strongly correlated quantum liquid. a review containing comments on topological orders in higher dimensions and/or in Higgs phases; also introduced a dimension index (DI) to characterize the robustness of the ground state degeneracy of a topologically ordered state. If DI is less or equal to 1, then topological orders cannot exist at finite temperature. и „квантне стаклавости”.
Математичка формулација
Знамо да је теорија група математичка основа редова нарушавања симетрије. Шта је математичка основа тополошког реда? Утврђено је да се подкласа 2+1Д тополошких редова — Абелови тополошки редови — може класификовати приступом К-матрице. Кондензација стринг-мреже сугерише да је тензорска категорија (као што је фузиона категорија или моноидална категорија) део математичке основе тополошког реда у 2+1Д. Новија истраживања сугеришу да (до инвертибилних тополошких редова који немају фракционализоване ексцитације):
2+1Д бозонски тополошки редови су класификовани унитарним модуларним тензорским категоријама. 2+1Д бозонски тополошки редови са симетријом G су класификовани G-укрштеним тензорским категоријама. 2+1Д бозонски/фермионски тополошки редови са симетријом G су класификовани унитарним уплетеним фузионим категоријама преко симетричне фузионе категорије, која има модуларне екстензије. Симетрична фузиона категорија је Rep(G) за бозонске системе и sRep(G) за фермионске системе.
Тополошки ред у вишим димензијама може бити повезан са теоријом n-категорије. Квантна операторска алгебра је веома важан математички алат у проучавању тополошких редова.
Неки такође сугеришу да се тополошки ред математички описује као проширена квантна симетрија.
Примене Материјали описани Ландауовом теоријом нарушавања симетрије имали су значајан утицај на технологију. На пример, феромагнетни материјали који нарушавају симетрију ротације спина могу се користити као медији за складиштење дигиталних информација. Чврсти диск направљен од феромагнетних материјала може складиштити гигабајте информација. Течни кристали који нарушавају ротациону симетрију молекула налазе широку примену у технологији дисплеја. Кристали који нарушавају транслациону симетрију доводе до добро дефинисаних електронских трака, што нам заузврат омогућава да правимо полупроводничке уређаје као што су транзистори. Различити типови тополошких редова су још богатији од различитих типова редова нарушавања симетрије. Ово указује на њихов потенцијал за узбудљиве, нове примене.