thumb|Реални део (у црвеној) и имагинарни део (у плавој боји) Риманове зета-функције на критичној линији Re(s) = 1/2. Првих неколико имагинарних нула се може видети за вредности Im(s) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.
Риманова хипотеза је претпоставка о дистрибуцији нетривијалних нула Риманове зета-функције . Први пут је формулисана у раду Бернарда Римана из 1859: О броју простих бројева испод задате величине (). Од тада, и поред огромних напора, овај проблем и даље остаје нерешен.
Риманова зета-функција је дефинисана за све комплексне бројеве -{s}- ≠ 1, и има тривијалне нуле у парним негативним целим бројевима (-{s = −2, s = −4, s = −6, ...}-). Риманова хипотеза каже да се све нетривијалне нуле налазе на једној правој у комплексној равни, конкретно:
Реални део било које нетривијалне нуле Риманове зета-функције је ½, односно све нетривијалне нуле се налазе на критичној линији ½ + -{it}-.
Историјат Рад из 1859. је Риманов једини оглед у теорији бројева, али је хипотеза изнета у њему један од најзначајнијих нерешених проблема у савременој математици, пре свега зато што се доста важних резултата ослања на важење ове хипотезе (рецимо у криптографији, факторизацији целих бројева и полинома).
Легенда каже да се копија сакупљених Риманових радова у Хурвицовој () библиотеци након његове смрти сама отварала на страни на којој се налазио исказ Риманове хипотезе.
Давид Хилберт је на Другом међународном конгресу математичара у Паризу, 8. августа 1900. године поставио проблем Риманове хипотезе као један од двадесеттри Хилбертова проблема (проблем број осам). За Хилберта је Риманова хипотеза имала посебан значај, када су га питали шта би најпре урадио након 500-годишњег сна, Хилберт је одговорио да би прво питао да ли је Риманова хипотеза доказана.
Годфри Харолд Харди () је 1914. године доказао да се на критичној линији ½ + -{it}- налази бесконачно много нула.
Риманова хипотеза је један од седам Миленијумских проблема Математичког института Клеј.
Покушаји доказивања Риманова хипотеза је као и Последња Фермаова теорема била инспирација за небројене покушаје доказивања, где су подједнако неуспешни били и врхунски и математичари аматери. Када је 1995. године енглески математичар Ендру Вајлс извео доказ Фермаове последње теореме - фокус математичке заједнице је преусмерен на Риманову хипотезу, најистакнутији нерешени проблем у математици данас. Овде су набројани значајни неуспешни покушаји у новом миленијуму.
Мати Питканен (-{Matti Pitkanen}-) у септембру 2001, повукао доказ због грешке у новембру исте године., Приступљено 24. 4. 2013.
Карлос Кастро (-{Carlos Castro}-), и Хорге Махеха (-{Jorge Mahecha}-) су у серији радова од 2001. до 2006. године пробали да изграде теорију (користећи суперсиметрије и квантномеханички приступ) која би омогућила доказивање Риманове хипотезе. Њихов приступ је одбачен., Приступљено 24. 4. 2013.
Каида Ши (-{Kaida Shi}-) у јулу 2003. године, доказ садржавао грешку., Приступљено 24. 4. 2013.
Луј д'Бранж (-{Louis de Branges de Bourcia}-) у јулу 2004. године, нађен контрапример. Аутор је касније објавио Извињење за доказ Риманове Хипотезе.
Јинжу Хан (-{Jinzhu Han}-) у јуну 2007. године, доказ садржавао грешку., Приступљено 24. 4. 2013.
Андреј Мадрецки (-{Andrzej Madrecki}-) у јулу 2007. године, доказ садржавао грешку., Приступљено 24. 4. 2013.
Лев Аизенберг (-{Lev Aizenberg}-) у децембру 2007. године, повукао доказ због грешке у јануару 2008. године., Приступљено 24. 4. 2013.
Ксиан-Јин Ли (-{Xian-Jin Li}-) у јулу 2008. године, неколико дана касније је повукао доказ због грешке (на страни 29)., Приступљено 24. 4. 2013.
Мајкл Атија је предложио доказ Риманове хипотезе 2018. године.Британац решио математички проблем стар 160 година („Политика”, 24. септембар 2018)
Потрага за нулама Риманове зета-функције Дуго се веровало да је Риманова хипотеза резултат дубоке интуиције и осећаја за проблем. Карл Лудвиг Сигел (-{Carl Ludwig Siegel}-) је, међутим, у тридесетим годинама 20. века анализирајући Риманове рукописе пронашао рачун за првих неколико нула на критичној правој, на неколико децималних цифара тачности.
Риманова хипотеза је нумерички проверена за првих 1013 нула (за вредности -{t}- на критичној линији до 2,4·1012). Овај резултат су 2004. године добили Ксавијер Гордон (-{Xavier Gourdon}-) и Патрик Демишел (-{Patrick Demichel}-) користећи Одлизко-Шонаге (-{Odlyzko-Schönhage}-) алгоритам из 1988. године.
Све познате вредности -{t}- за нуле на критичној линији су по свему судећи ирационални бројеви.
Све познате нуле су првог реда. Иако постојење нула вишег реда не би оповргло Риманову хипотезу - изазвало би озбиљне проблеме за доста савремених рачунских техника.
Референце
Литература
Reprinted in .
Reprinted in .
Reprinted in . Reprinted in .
Reprinted in . Review
. Reprinted (1990) ,
(Reprinted by Dover 2003)
.
Reprinted in .
.
This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in and
Reprinted in .
Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
Reprinted in .
Reprinted in .
Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil
Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)
Спољашње везе
Миленијумски проблеми Математичког Института Клеј (-{Clay Mathematics Institute Millennium Problems}-), (2000), објава награде од милион долара за решење Миленијумских проблема. Фототипија рукописа Римановог рада из 1859. године , у којем се први пут помиње Риманова хипотеза. -{Mathworld}-, текст посвећен Римановој хипотези на сајту -{wolfram}-. -{American institute of mathematics, Riemann hypothesis}- -{Zeroes database, 103 800 788 359 zeroes}- -{The Key to the Riemann Hypothesis - Numberphile, a YouTube video about the Riemann hypothesis by Numberphile}- -{Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.}-
-{including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function}- Slides of a talk .
.
, a simple animated Java applet.
-{Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005}-
Категорија:Зета и L-функције Категорија:Хилбертови проблеми Категорија:Нерешени проблеми у математици Категорија:Хипотезе Категорија:Аналитичка теорија бројева Категорија:Бернхард Риман Категорија:Конјектуре