У физици, Хамилтон—Јакобијева једначина, названа по Вилијаму Роуану Хамилтону и Карлу Густаву Јакобу Јакобију, представља алтернативну формулацију класичне механике, еквивалентну другим формулацијама као што су Њутнови закони, Лагранжова механика и Хамилтонова механика.
Хамилтон—Јакобијева једначина је формулација механике у којој се кретање честице може представити као талас. У том смислу, она је испунила дугогодишњи циљ теоријске физике (који датира бар од Јохана Бернулија у 18. веку) проналажења аналогије између простирања светлости и кретања честице. Таласна једначина коју следе механички системи слична је, али не и идентична, Шредингеровој једначини, као што је описано у наставку; из тог разлога, Хамилтон—Јакобијева једначина се сматра „најближим приступом” класичне механике квантној механици. (посебно дискусија која почиње у последњем пасусу на страни 491) Квалитативни облик ове везе назива се Хамилтонова оптичко-механичка аналогија.
У математици, Хамилтон—Јакобијева једначина је потребан услов који описује екстремалну геометрију у генерализацијама проблема из варијационог рачуна. Може се разумети као посебан случај Хамилтон—Јакоби—Белманове једначине из динамичког програмирања.
Преглед Хамилтон—Јакобијева једначина је нелинеарна парцијална диференцијална једначина првог реда
за систем честица на координатама . Функција је Хамилтонијан система који даје енергију система. Решење ове једначине је дејство, , које се назива Хамилтонова главна функција. Решење се може повезати са Лагранжијаном система неодређеним интегралом облика који се користи у принципу најмањег дејства:
Геометријске површине константног дејства су нормалне на путање система, стварајући приказ динамике система налик таласном фронту. Ово својство Хамилтон—Јакобијеве једначине повезује класичну механику са квантном механиком.
Математичка формулација Нотација Подебљане променљиве као што је представљају листу од генералисаних координата,
Тачка изнад променљиве или листе означава временски извод (видети Њутнову нотацију). На пример,
Нотација скаларног производа између две листе са истим бројем координата је скраћеница за збир производа одговарајућих компоненти, као што је
Функционал дејства (тј. Хамилтонова главна функција)
Дефиниција Нека је Хесијан матрица инвертибилна. Релација
показује да Ојлер—Лагранжове једначине чине систем обичних диференцијалних једначина другог реда. Инвертовањем матрице овај систем се трансформише у
Нека су фиксни тренутак времена и тачка у конфигурационом простору. Теореме о егзистенцији и јединствености гарантују да, за свако проблем почетних вредности са условима и има локално јединствено решење Додатно, нека постоји довољно мали временски интервал такав да се екстремале са различитим почетним брзинама не секу у Ово последње значи да, за свако и свако може постојати највише једна екстремала за коју важи и Заменом у функционал дејства добија се Хамилтонова главна функција (ХГФ):
где је:
Формула за импулсе Импулси су дефинисани као величине Овај одељак показује да зависност од нестаје када је позната ХГФ.
Заиста, нека су фиксни тренутак времена и тачка у конфигурационом простору. За сваки тренутак времена и тачку нека је (јединствена) екстремала из дефиниције Хамилтонове главне функције . Назовимо брзином у тренутку . Тада:
Формула Дат је Хамилтонијан механичког система. Хамилтон—Јакобијева једначина је нелинеарна парцијална диференцијална једначина првог реда за Хамилтонову главну функцију ,
Алтернативно, као што је описано у наставку, Хамилтон—Јакобијева једначина се може извести из Хамилтонове механике третирањем као генераторске функције за канонску трансформацију класичног Хамилтонијана
Коњуговани импулси одговарају првим изводима у односу на генералисане координате
Као решење Хамилтон—Јакобијеве једначине, главна функција садржи неодређених константи, од којих првих означавамо са , а последња долази од интеграције .
Веза између и затим описује орбиту у фазном простору помоћу ових константи кретања. Штавише, величине
су такође константе кретања, и ове једначине се могу инвертовати како би се пронашло као функција свих и константи и времена.
Поређење са другим формулацијама механике Хамилтон—Јакобијева једначина је једна, парцијална диференцијална једначина првог реда за функцију од генералисаних координата и времена . Генералисани импулси се не појављују, осим као изводи од , класичног дејства.
Ради поређења, у еквивалентним Ојлер—Лагранжовим једначинама кретања Лагранжове механике, коњуговани импулси се такође не појављују; међутим, те једначине чине систем од , генерално другог реда, једначина за временску еволуцију генералисаних координата. Слично томе, Хамилтонове једначине кретања су још један систем од 2N једначина првог реда за временску еволуцију генералисаних координата и њихових коњугованих импулса .
Пошто је ХЈЕ еквивалентан израз проблема минимизације интеграла као што је Хамилтонов принцип, ХЈЕ може бити корисна у другим проблемима варијационог рачуна и, општије, у другим гранама математике и физике, као што су динамички системи, симплектичка геометрија и квантни хаос. На пример, Хамилтон—Јакобијеве једначине се могу користити за одређивање геодезијских линија на Римановој многострукости, што је важан варијациони проблем у Римановој геометрији. Међутим, као рачунарски алат, парцијалне диференцијалне једначине су ноторно компликоване за решавање, осим када је могуће раздвојити независне променљиве; у том случају ХЈЕ постаје рачунарски корисна.
Извођење коришћењем канонске трансформације Свака канонска трансформација која укључује генераторску функцију типа 2, , води до релација
и Хамилтонове једначине у терминима нових променљивих и новог Хамилтонијана имају исти облик:
Да би се извела ХЈЕ, генераторска функција се бира тако да нови Хамилтонијан буде . Отуда су сви његови изводи такође нула, а трансформисане Хамилтонове једначине постају тривијалне:
тако да су нове генералисане координате и импулси константе кретања. Пошто су оне константе, у овом контексту се нови генералисани импулси обично означавају са , тј. , а нове генералисане координате се обично означавају као , тако да је .
Постављањем генераторске функције да буде једнака Хамилтоновој главној функцији, плус произвољна константа :
ХЈЕ аутоматски произилази:
Када се реше по , ове једначине нам такође дају корисне једначине:
или записано по компонентама ради јасноће:
Идеално, ових једначина се може инвертовати да би се пронашле оригиналне генералисане координате као функција константи и , чиме се решава оригинални проблем.
Раздвајање променљивих Када проблем дозвољава адитивно раздвајање променљивих, ХЈЕ води директно до константи кретања. На пример, време t се може раздвојити ако Хамилтонијан експлицитно не зависи од времена. У том случају, временски извод у ХЈЕ мора бити константа, која се обично означава са (), што даје раздвојено решење:
где се временски независна функција понекад назива скраћено дејство или Хамилтонова карактеристична функција а понекад се записује као . Редукована Хамилтон—Јакобијева једначина се тада може записати као:
Да бисмо илустровали раздвојивост за друге променљиве, претпоставља се да се одређена генералисана координата и њен извод појављују заједно као једна функција
у Хамилтонијану
У том случају, функција S се може поделити на две функције, једну која зависи само од qk и другу која зависи само од преосталих генералисаних координата:
Замена ових формула у Хамилтон—Јакобијеву једначину показује да функција ψ мора бити константа (означена овде као ), што даје обичну диференцијалну једначину првог реда за
У срећним случајевима, функција се може потпуно раздвојити на функција
У таквом случају, проблем се своди на обичних диференцијалних једначина.
Раздвојивост функције S зависи и од Хамилтонијана и од избора генералисаних координата. За ортогоналне координате и Хамилтонијане који немају временску зависност и који су квадратни по генералисаним импулсима, ће бити потпуно раздвојиво ако је потенцијална енергија адитивно раздвојива у свакој координати, где се члан потенцијалне енергије за сваку координату множи фактором зависним од координате у одговарајућем члану импулса Хамилтонијана (Штекелови услови). Илустрације ради, у наредним одељцима је урађено неколико примера у ортогоналним координатама.
Примери у различитим координатним системима Сферне координате У сферним координатама, Хамилтонијан слободне честице која се креће у конзервативном потенцијалу U може се записати као:
Хамилтон—Јакобијева једначина је потпуно раздвојива у овим координатама под условом да постоје функције такве да се може записати у аналогном облику:
Замена потпуно раздвојеног решења
у ХЈЕ даје:
Ова једначина се може решити узастопним интеграцијама обичних диференцијалних једначина, почевши од једначине за :
где је константа кретања која елиминише зависност од из Хамилтон—Јакобијеве једначине:
Следећа обична диференцијална једначина укључује генералисану координату :
где је поново константа кретања која елиминише зависност од и своди ХЈЕ на коначну обичну диференцијалну једначину:
чија интеграција комплетира решење за .
Елиптичне цилиндричне координате Хамилтонијан у елиптичним цилиндричним координатама се може записати као:
где се жиже елипси налазе на на -оси. Хамилтон—Јакобијева једначина је потпуно раздвојива у овим координатама под условом да има аналоган облик:
где су , и произвољне функције. Замена потпуно раздвојеног решења у ХЈЕ даје:
Раздвајање прве обичне диференцијалне једначине
даје редуковану Хамилтон—Јакобијеву једначину (након преуређивања и множења обе стране имениоцем):
која се сама може раздвојити на две независне обичне диференцијалне једначине:
које, када се реше, дају потпуно решење за .
Параболичне цилиндричне координате Хамилтонијан у параболичним цилиндричним координатама се може записати као:
Хамилтон—Јакобијева једначина је потпуно раздвојива у овим координатама под условом да има аналоган облик:
где су , и произвољне функције. Замена потпуно раздвојеног решења
у ХЈЕ даје:
Раздвајање прве обичне диференцијалне једначине
даје редуковану Хамилтон—Јакобијеву једначину (након преуређивања и множења обе стране имениоцем):
која се сама може раздвојити на две независне обичне диференцијалне једначине:
које, када се реше, дају потпуно решење за .
Таласи и честице Оптички таласни фронтови и путање
ХЈЕ успоставља дуалност између путања и таласних фронтова. На пример, у геометријској оптици, светлост се може сматрати или „зрацима” или таласима. Таласни фронт се може дефинисати као површина коју је светлост емитована у тренутку достигла у тренутку . Светлосни зраци и таласни фронтови су дуални: ако је једно познато, друго се може извести.
Прецизније, геометријска оптика је варијациони проблем где је „дејство” време путовања дуж путање, где је индекс преламања средине, а је инфинитезимална дужина лука. Из горње формулације, путање зрака се могу израчунати користећи Ојлер—Лагранжову формулацију; алтернативно, таласни фронтови се могу израчунати решавањем Хамилтон—Јакобијеве једначине. Познавање једног води ка познавању другог.
Ова дуалност је веома општа и примењује се на све системе који произилазе из варијационог принципа: или се рачунају путање користећи Ојлер—Лагранжове једначине или таласни фронтови користећи Хамилтон—Јакобијеву једначину.
Таласни фронт у времену , за систем који је почетно био у у времену , дефинисан је као скуп тачака таквих да је . Ако је познато, импулс се одмах изводи:
Када је познато, тангенте на путање се рачунају решавањем једначинеза , где је Лагранжијан. Путање се затим реконструишу из познавања .
Веза са Шредингеровом једначином