Ерланг

Ерланг (симбол E) је бездимензионална јединица која се користи у телефонији као мера понуђеног оптерећења или понесеног оптерећења на елементима који пружају услуге, као што су телефонска кола или телефонска комутациона опрема. Једно кабловско коло има капацитет да се користи 60 минута у једном сату. Пуно искоришћење тог капацитета, односно 60 минута саобраћаја, представља 1 ерланг.

Понесени саобраћај у ерланзима је просечан број истовремених позива мерен током одређеног периода (обично једног сата), док је понуђени саобраћај онај саобраћај који би био понесен када би сви покушаји позива били успешни. Колико понуђеног саобраћаја се у пракси понесе, зависи од тога шта се дешава са неодговореним позивима када су сви сервери заузети.

Међународни телеграфски и телефонски консултативни комитет (ЦЦИТТ) је 1946. године назвао међународну јединицу телефонског саобраћаја ерланг у част Агнера Крарупа Ерланга. У Ерланговој анализи ефикасног коришћења телефонских линија, он је извео формуле за два важна случаја, Ерланг-Б и Ерланг-Ц, који су постали темељни резултати у инжењерингу телесаобраћаја и теорији редова чекања. Његови резултати, који се и данас користе, повезују квалитет услуге са бројем доступних сервера. Обе формуле узимају понуђено оптерећење као један од својих главних улаза (у ерланзима), што се често изражава као брзина пристизања позива помножена са просечном дужином позива.

Кључна претпоставка иза Ерланг-Б формуле је да не постоји ред чекања, тако да, ако су сви сервисни елементи већ у употреби, новопридошли позив ће бити блокиран и накнадно изгубљен. Формула даје вероватноћу да се ово догоди. Насупрот томе, Ерланг-Ц формула предвиђа могућност неограниченог реда чекања и даје вероватноћу да ће нови позив морати да чека у реду јер су сви сервери заузети. Ерлангове формуле имају широку примену, али могу затајити када је загушење посебно велико, што узрокује да се неуспешни саобраћај више пута понавља. Један начин узимања у обзир поновних покушаја када нема доступног реда чекања је метод проширеног Ерланг-Б.

Мерења саобраћаја телефонског кола

Када се користи за представљање понесеног саобраћаја, вредност (која може бити нецео број као што је 43,5) иза које следи „ерланга” представља просечан број истовремених позива које преносе кола (или други елементи који пружају услуге), при чему се тај просек израчунава током неког разумног временског периода. Период преко ког се рачуна просек често је један сат, али се могу користити и краћи периоди (нпр. 15 минута) када је познато да постоје кратки скокови потражње и када се жели мерење саобраћаја које не маскира ове скокове. Један ерланг понесеног саобраћаја односи се на један ресурс који је у непрекидној употреби, или два канала који су оба у употреби педесет посто времена, и тако даље. На пример, ако канцеларија има два телефонска оператера који су оба заузети све време, то би представљало два ерланга (2 E) саобраћаја; или за радио-канал који је непрекидно заузет током периода од интереса (нпр. један сат) каже се да има оптерећење од 1 ерланга.

Када се користи за опис понуђеног саобраћаја, вредност иза које следи „ерланга” представља просечан број истовремених позива који би били понесени да је постојао неограничен број кола (односно, да покушаји позива који су направљени када су сва кола била у употреби нису били одбијени). Однос између понуђеног и понесеног саобраћаја зависи од дизајна система и понашања корисника. Три уобичајена модела су (а) позиваоци чији су покушаји позива одбијени одлазе и никада се не враћају, (б) позиваоци чији су покушаји позива одбијени покушавају поново у прилично кратком временском року, и (в) систем омогућава корисницима да чекају у реду док коло не постане доступно.

Трећа мера саобраћаја је тренутни саобраћај, изражен као одређени број ерланга, што значи тачан број позива који се одвијају у датом тренутку. У овом случају, број је ненегативан цео број. Уређаји за снимање нивоа саобраћаја, као што су снимачи са покретним пером, исцртавају тренутни саобраћај.

Ерлангова анализа

Концепти и математика које је увео Агнер Краруп Ерланг имају широку примену изван телефоније. Они се примењују где год корисници пристижу мање-више насумично како би добили ексклузивну услугу од било ког из групе елемената који пружају услуге без претходне резервације, на пример, када су елементи који пружају услуге шалтери за продају карата, тоалети у авиону или мотелске собе. (Ерлангови модели се не примењују када се елементи који пружају услуге деле између неколико истовремених корисника или када различити корисници троше различите количине услуге, на пример, на колима која преносе саобраћај података.)

Циљ Ерлангове теорије саобраћаја је да тачно одреди колико елемената који пружају услуге треба обезбедити како би се задовољили корисници, без расипног прекомерног обезбеђивања. Да би се то урадило, поставља се циљ за квалитет услуживања (GoS) или квалитет услуге (QoS). На пример, у систему где нема реда чекања, GoS може бити да се не више од 1 позива у 100 блокира (тј. одбије) због тога што су сва кола у употреби (GoS од 0,01), што постаје циљна вероватноћа блокирања позива, Pb, при коришћењу Ерланг-Б формуле.

Постоји неколико резултујућих формула, укључујући Ерланг-Б, Ерланг-Ц и сродну Енгсетову формулу, заснованих на различитим моделима понашања корисника и рада система. Свака од њих може бити изведена помоћу посебног случаја Марковљевих процеса са непрекидним временом познатог као процес рађања и умирања. Новији метод Проширеног Ерланг-Б пружа додатно саобраћајно решење које се ослања на Ерлангове резултате.

Израчунавање понуђеног саобраћаја

Понуђени саобраћај (у ерланзима) повезан је са брзином пристизања позива, λ, и просечним временом трајања позива (просечно време телефонског позива), h, преко:

под условом да су h и λ изражени коришћењем истих јединица времена (секунде и позиви по секунди, или минути и позиви по минуту).

Практично мерење саобраћаја обично се заснива на континуираним посматрањима током неколико дана или недеља, током којих се тренутни саобраћај бележи у редовним, кратким интервалима (као што је сваких неколико секунди). Ова мерења се затим користе за израчунавање једног резултата, најчешће саобраћаја у сату највећег оптерећења (у ерланзима). Ово је просечан број истовремених позива током одређеног једночасовног периода у дану, при чему је тај период одабран тако да даје највећи резултат. (Овај резултат се назива временски конзистентан саобраћај сата највећег оптерећења). Алтернатива је да се вредност саобраћаја у сату највећег оптерећења израчуна посебно за сваки дан (што може одговарати мало другачијим временима сваког дана) и да се узме просек ових вредности. Ово генерално даје нешто вишу вредност од временски конзистентне вредности сата највећег оптерећења.

Тамо где се постојећи понесени саобраћај у сату највећег оптерећења, Ec, мери на већ преоптерећеном систему, са значајним нивоом блокирања, неопходно је узети у обзир блокиране позиве при процени понуђеног саобраћаја у сату највећег оптерећења Eo (што је вредност саобраћаја која се користи у Ерланговим формулама). Понуђени саобраћај се може проценити помоћу . У ту сврху, тамо где систем укључује средство за бројање блокираних и успешних позива, Pb се може проценити директно из пропорције позива који су блокирани. У супротном, Pb се може проценити коришћењем Ec уместо Eo у Ерланговој формули, а резултујућа процена Pb се затим може користити у да би се обезбедила прва процена за Eo.

Други метод процењивања Eo у преоптерећеном систему је мерење брзине пристизања позива у сату највећег оптерећења, λ (бројање успешних и блокираних позива), и просечног времена трајања позива (за успешне позиве), h, а затим процењивање Eo помоћу формуле .

За ситуацију у којој је саобраћај који треба обрадити потпуно нов, једини избор је да се покуша моделовање очекиваног понашања корисника. На пример, могло би се проценити активно становништво корисника, N, очекивани ниво употребе, U (број позива/трансакција по кориснику дневно), фактор концентрације сата највећег оптерећења, C (пропорција дневне активности која ће пасти у сат највећег оптерећења), и просечно време задржавања/време услуге, h (изражено у минутима). Пројекција понуђеног саобраћаја у сату највећег оптерећења тада би била . (Дељење са 60 претвара брзину пристизања позива/трансакција у сату највећег оптерећења у вредност по минуту, како би се ускладило са јединицама у којима је изражено h.)

Ерланг-Б формула Ерланг-Б формула, позната и као формула Ерланговог губитка, јесте формула за вероватноћу блокирања која описује вероватноћу губитка позива за групу идентичних паралелних ресурса (телефонске линије, кола, саобраћајни канали или еквивалентно), која се понекад назива М/М/ц/ц ред чекања. Она се, на пример, користи за димензионисање веза телефонске мреже. Формулу је извео Агнер Краруп Ерланг и није ограничена само на телефонске мреже, будући да описује вероватноћу у систему редова чекања (иако посебан случај са одређеним бројем сервера, али без простора за чекање долазних позива на слободан сервер). Стога се формула такође користи у одређеним системима инвентара са изгубљеном продајом.

Формула се примењује под условом да неуспешан позив, због заузетости линије, не чека у реду нити покушава поново, већ заиста нестаје заувек. Претпоставља се да покушаји позива пристижу пратећи Поасонов процес, тако да су тренуци доласка позива независни. Даље, претпоставља се да су дужине порука (времена трајања) експоненцијално распоређене (Марковљев систем), иако се испоставља да се формула примењује под општим расподелама времена трајања.

Ерланг-Б формула претпоставља бесконачну популацију извора (као што су телефонски претплатници), који заједно нуде саобраћај ка N сервера (као што су телефонске линије). Брзина која изражава учесталост којом пристижу нови позиви, λ, (стопа наталитета, интензитет саобраћаја итд.) је константна и не зависи од броја активних извора. Претпоставља се да је укупан број извора бесконачан. Ерланг-Б формула израчунава вероватноћу блокирања система губитака без бафера, где се захтев који се не услужи одмах прекида, што доводи до тога да ниједан захтев не улази у ред чекања. Блокирање настаје када нови захтев пристигне у тренутку када су сви доступни сервери тренутно заузети. Формула такође претпоставља да се блокирани саобраћај брише и не враћа.

Формула пружа GoS (квалитет услуживања) који представља вероватноћу Pb да је нови позив који пристиже у групу ресурса одбијен јер су сви ресурси (сервери, линије, кола) заузети: где је E укупни понуђени саобраћај у ерланзима, понуђен ка m идентичних паралелних ресурса (сервера, комуникационих канала, саобраћајних трака).

где је: Pb вероватноћа блокирања m број идентичних паралелних ресурса као што су сервери, телефонске линије итд. E = λh нормализовано улазно оптерећење (понуђени саобраћај изражен у ерланзима).

Ерланг је бездимензионална јединица оптерећења израчуната као средња брзина пристизања, λ, помножена са средњим временом трајања позива, h. Јединица мора бити бездимензионална да би Литлов закон био димензионално исправан.

Ово се може изразити рекурзивно на следећи начин, у облику који се користи да би се поједноставило израчунавање табела за Ерланг-Б формулу:

Типично, уместо B(E, m) у нумеричком рачунању израчунава се инверзно 1/B(E, m) како би се осигурала нумеричка стабилност:

Рекурзивни облик се може извести из нерекурзивног облика поновљеном супституцијом.

Function ErlangB (E As Double, m As Integer) As Double Dim InvB As Double Dim j As Integer

InvB = 1.0 For j = 1 To m InvB = 1.0 + InvB * j / E Next j ErlangB = 1.0 / InvB End Function

или верзија у програмском језику Пајтон (Python):

def erlang_b(E: float, m: int) -> float: """Израчунава вероватноћу губитка позива.""" inv_b = 1.0 for j in range(1, m + 1): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b