Алгебра се у суштини може сматрати извођењем рачунања сличних онима из аритметике, али са ненумеричким математичким објектима. Међутим, све до 19. века, алгебра се у основи састојала од теорије једначина. На пример, основна теорема алгебре припада теорији једначина и не сматра се делом алгебре (у ствари, сваки математички доказ мора да користи комплетност реалних бројева, што није алгебарска особина).

Овај чланак описује историју теорије једначина, која се у овом чланку назива „алгебром“, од њених почетака до појаве алгебре као засебне области математике.

Етимологија Реч „алгебра“ потиче од арапске речи , а она долази из расправе коју је 830. године написао средњовековни персијски математичар, Мухамед ибн Муса ел-Хорезми, чији се арапски наслов, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, може превести као Садржајна књига о рачунању путем допуњавања и уравнотежења. Расправа је пружила систематско решавање линеарних и квадратних једначина. Према једном историјском извору, „[н]ије сасвим сигурно шта тачно значе изрази al-jabr и muqabalah, али уобичајено тумачење је слично ономе које се подразумева у претходном преводу. Реч 'al-jabr' је вероватно значила нешто попут 'обнављање' или 'допуњавање' и чини се да се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине; за реч 'muqabalah' се каже да се односи на 'свођење' или 'уравнотежење'—то јест, поништавање сличних чланова на супротним странама једначине. Арапски утицај у Шпанији дуго након времена Ел-Хорезмија налази се у Дон Кихоту, где се реч 'algebrista' користи за намештача костију, то јест, 'обновитеља'.“ Израз користи Ел-Хорезми да опише операције које је увео, „свођење“ и „уравнотежење“, што се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, односно на поништавање сличних чланова на супротним странама једначине.

Фазе развоја алгебре

Алгебарски израз Алгебра није одувек користила симболику која је данас свеприсутна у математици; уместо тога, прошла је кроз три различите фазе. Фазе у развоју симболичке алгебре су приближно следеће: "Речено је да се у историјском развоју алгебре могу препознати три фазе: (1) реторичка или рана фаза, у којој је све у потпуности исписано речима; (2) синкопирана или средња фаза, у којој су усвојене неке скраћенице; и (3) симболичка или завршна фаза. Таква произвољна подела развоја алгебре на три фазе је, наравно, површно поједностављење; али може ефикасно послужити као прва апроксимација онога што се догодило"

Реторичка алгебра, у којој су једначине написане у пуним реченицама. На пример, реторички облик за је „Ствар плус један једнако је два“ или могуће „Ствар плус 1 једнако је 2“. Реторичку алгебру су први развили древни Вавилонци и она је остала доминантна све до 16. века.

Синкопирана алгебра, у којој се користи извесна симболика, али која не садржи све карактеристике симболичке алгебре. На пример, може постојати ограничење да се одузимање може користити само једном на једној страни једначине, што није случај са симболичком алгебром. Синкопирани алгебарски израз први пут се појавио у Диофантовој Аритметици (3. век н.е.), а затим у Брамагуптиној Брахма-спхута-сидханти (7. век). Симболичка алгебра, у којој се користи потпуна симболика. Рани кораци ка овоме могу се видети у радовима неколико исламских математичара као што су Ибн ел-Бана (13–14. век) и ел-Каласади (15. век), иако је потпуно симболичку алгебру развио Франсоа Вијет (16. век). Касније је Рене Декарт (17. век) увео модерну нотацију (на пример, употребу x—види доле) и показао да се проблеми који се јављају у геометрији могу изразити и решити помоћу алгебре (Картезијева геометрија).

Колико год да је била важна употреба или недостатак симболизма у алгебри, толико је био важан и степен једначина које су решаване. Квадратне једначине су играле важну улогу у раној алгебри; и током већег дела историје, све до раног модерног периода, све квадратне једначине су класификоване као припаднице једне од три категорије.

где су и позитивни. Ова трихотомија произилази из чињенице да квадратне једначине облика , са позитивним и , немају позитивне корене. "Све до модерних времена није се размишљало о решавању квадратне једначине облика , где су и позитивни, јер једначина нема позитиван корен. Стога су квадратне једначине у античко и средњовековно доба—па чак и у раном модерном периоду—биле класификоване у три типа: (1) (2) (3) "

Између реторичке и синкопиране фазе симболичке алгебре, развила се геометријска конструктивна алгебра код класичних грчких и ведских индијских математичара у којој су алгебарске једначине решаване путем геометрије. На пример, једначина облика решавана је проналажењем странице квадрата површине

Концептуалне фазе Поред три фазе изражавања алгебарских идеја, неки аутори су препознали четири концептуалне фазе у развоју алгебре које су се одвијале упоредо са променама у изражавању. Те четири фазе су следеће:

Геометријска фаза, где су концепти алгебре углавном геометријски. Ово датира од Вавилонаца и наставило се са Грцима, а касније ју је обновио Омар Хајам. Фаза статичког решавања једначина, где је циљ пронаћи бројеве који задовољавају одређене односе. Удаљавање од геометријске фазе датира од Диофанта и Брамагупте, али алгебра се није одлучно померила ка фази статичког решавања једначина све док Ел-Хорезми није увео генерализоване алгоритамске процесе за решавање алгебарских проблема. Динамичка функцијска фаза, где је кретање основна идеја. Идеја функције почела је да се појављује код Шараф ал-Дина ал-Тусија, али алгебра се није одлучно померила ка динамичкој функцијској фази све до Готфрида Лајбница. Апстрактна фаза, где математичка структура игра централну улогу. Апстрактна алгебра је углавном производ 19. и 20. века.

Вавилон

мини|лево|Плочица Плимптон 322 Порекло алгебре може се пратити до древних Вавилонаца, који су развили позициони бројевни систем који им је у великој мери помогао у решавању њихових реторичких алгебарских једначина. Вавилонци нису били заинтересовани за тачна решења, већ пре за апроксимације, па би обично користили линеарну интерполацију да апроксимирају међувредности. "Вавилонски математичари нису оклевали да интерполирају пропорционалним деловима како би апроксимирали међувредности. Чини се да је линеарна интерполација била уобичајена процедура у древној Месопотамији, а позициона нотација се згодно уклапала у правило тројно. [...] табела неопходна у вавилонској алгебри; ова тема је достигла знатно виши ниво у Месопотамији него у Египту. Многи проблемски текстови из старовавилонског периода показују да решавање потпуне трочлане квадратне једначине Вавилонцима није представљало озбиљне потешкоће, јер су развијене флексибилне алгебарске операције. Могли су да преносе чланове у једначинама додавањем једнаких једнаким, и могли су да множе обе стране сличним величинама да би уклонили разломке или елиминисали факторе. Додавањем на могли су да добију јер су били упознати са многим једноставним облицима растављања на факторе. [...] Египатска алгебра се углавном бавила линеарним једначинама, али Вавилонци су очигледно сматрали да су ове сувише елементарне да би им посветили много пажње. [...] У другом проблему у једном старовавилонском тексту налазимо две симултане линеарне једначине са две непознате величине, назване 'први сребрни прстен' и 'други сребрни прстен'." Једна од најпознатијих плочица је плочица Плимптон 322, настала око 1900–1600. п. н. е., која даје табелу Питагориних тројки и представља једну од најнапреднијих математика пре грчке математике.

Вавилонска алгебра је била много напреднија од египатске алгебре тог времена; док су се Египћани углавном бавили линеарним једначинама, Вавилонци су се више бавили квадратним и кубним једначинама. Вавилонци су развили флексибилне алгебарске операције помоћу којих су могли да додају једнако једнаком и множе обе стране једначине сличним величинама како би елиминисали разломке и факторе. Били су упознати са многим једноставним облицима растављања на факторе, трочланим квадратним једначинама са позитивним коренима, "Чини се да је решавање трочлане квадратне једначине далеко превазилазило алгебарске могућности Египћана, али Нојгебауер је 1930. открио да су Вавилонци ефикасно решавали такве једначине у неким од најстаријих проблемских текстова." и многим кубним једначинама, иако није познато да ли су били у стању да сведу општу кубну једначину. "У Египту нема записа о решавању кубних једначина, али међу Вавилонцима постоје многи примери тога. [...] Није познато да ли су Вавилонци били у стању да сведу општи четворочлани кубни облик, ax3 + bx2 + cx = d, на своју нормалну форму."

Стари Египат десно|мини|Део Рајндовог папируса

Древна египатска алгебра бавила се углавном линеарним једначинама, док су Вавилонци сматрали да су ове једначине сувише елементарне и развили су математику на виши ниво од Египћана.

Рајндов папирус, такође познат и као Ахмесов папирус, је древни египатски папирус написан око 1650. п. н. е. од стране Ахмеса, који га је преписао са ранијег дела које је датирао између 2000. и 1800. п. н. е. "Купљен је 1959. у летовалишту на Нилу од стране шкотског антиквара, Хенрија Рајнда; стога је често познат као Рајндов папирус или, ређе, као Ахмесов папирус у част писара чијом је руком преписана око 1650. п. н. е. Писар нам каже да материјал потиче од прототипа из Средњег краљевства од око 2000. до 1800. п. н. е." То је најобимнији древни египатски математички документ познат историчарима. "Велики део наших информација о египатској математици потиче из Рајндовог или Ахмесовог папируса, најобимнијег математичког документа из древног Египта; али постоје и други извори." Рајндов папирус садржи проблеме у којима се решавају линеарне једначине облика и , где су и познати, а која се назива "aha" или гомила, је непозната. "До сада описани египатски проблеми најбоље се могу класификовати као аритметички, али постоје и други који спадају у класу којој је израз алгебарски прикладно примењен. Они се не тичу конкретних објеката као што су хлеб и пиво, нити захтевају операције над познатим бројевима. Уместо тога, захтевају еквивалент решења линеарних једначина облика или , где су a, b и c познати, а x је непознато. Непознато се назива 'aha', или гомила. [...] Решење које даје Ахмес није оно из модерних уџбеника, већ једно предложено карактеристично за процедуру сада познату као 'метод лажне позиције', или 'правило лажног'. Конкретна лажна вредност предложена од стране научника из 1920-их и назначене операције на левој страни знака једнакости изводе се над овим претпостављеним бројем. Савремена истраживања показују да писари нису нагађали у овим ситуацијама. Тачни одговори рационалних бројева записани у серијама египатских разломака збунили су научнике из 1920-их. Потврђени резултат показује да је Ахмес 'проверио' резултат показујући да 16 + 1/2 + 1/8 тачно додато на седмину овога (што је 2 + 1/4 + 1/8), заиста даје 19. Овде видимо још један значајан корак у развоју математике, јер је провера једноставан пример доказа." Решења су вероватно, али не и сигурно, добијена коришћењем „метода лажне позиције“, или regula falsi, где се прво одређена вредност замени у леву страну једначине, затим се изврше потребне аритметичке радње, треће резултат се упореди са десном страном једначине, и коначно се тачан одговор пронађе коришћењем пропорција. У неким проблемима аутор „проверава“ своје решење, чиме записује један од најранијих познатих једноставних доказа.

Грчка математика

десно|мини|усправно=1.15|Један од најстаријих сачуваних фрагмената Еуклидових Елемената, пронађен у Оксиринху и датиран око 100. н.е. (P. Oxy. 29). Дијаграм прати Књигу II, Пропозицију 5.