Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being (срп. Одакле долази математика: Како отелотворени ум ствара математику, у даљем тексту WMCF) јесте књига коју су написали Џорџ Лејкоф, когнитивни лингвиста, и Рафаел Е. Нуњез, психолог. Објављена 2000. године, WMCF настоји да утемељи когнитивну науку о математици, теорију отелотворене математике засновану на концептуалној метафори.
Дефиниција математике у WMCF Математика чини онај део људског концептуалног система који је посебан на следећи начин: Она је прецизна, доследна, стабилна кроз време и људске заједнице, симболична, израчунљива, генерализујућа, универзално доступна, конзистентна у оквиру сваке од својих области и ефикасна као општи алат за опис, објашњење и предвиђање у огромном броју свакодневних активности, [у распону од] спорта, до грађевинарства, пословања, технологије и науке. — WMCF, стр. 50, 377
Николај Лобачевски је рекао: „Не постоји грана математике, колико год била апстрактна, која се једног дана неће моћи применити на феномене стварног света.” Изгледа да се уобичајени тип процеса концептуалног стапања примењује на целокупну математичку поворку.
Људска когниција и математика десно|мини|Комплексна раван: визуелна метафора апстрактне идеје комплексног броја, која омогућава да се операције над комплексним бројевима визуелизују као једноставни покрети кроз обичан простор.
Декларисана сврха Лејкофа и Нуњеза јесте да почну са постављањем темеља за истински научно разумевање математике, оно које је утемељено у процесима заједничким за сву људску когницију. Они откривају да четири различита, али повезана процеса метафорички структурирају основну аритметику: прикупљање објеката, конструкција објеката, коришћење мерног штапа и кретање дуж путање.
WMCF се надовезује на раније књиге Лејкофа (1987) и Лејкофа и Џонсона (1980, 1999), које анализирају такве концепте метафоре и шеме слика из друге генерације когнитивне науке. Неки од концепата из ових ранијих књига, попут занимљивих техничких идеја код Лејкофа (1987), одсутни су из WMCF.
Лејкоф и Нуњез сматрају да математика произилази из људског когнитивног апарата и стога се мора разумети у когнитивним терминима. WMCF заговара (и укључује неке примере) „анализу когнитивних идеја” математике која анализира математичке идеје у смислу људских искустава, метафора, генерализација и других когнитивних механизама који доводе до њих. Стандардно математичко образовање не развија такве технике анализе идеја јер се не бави разматрањима под А) које структуре ума му омогућавају да се бави математиком или под Б) филозофијом математике.
Лејкоф и Нуњез почињу прегледом психолошке литературе, закључујући да људска бића изгледа имају урођену способност, названу субитизација, да броје, сабирају и одузимају до око 4 или 5. Овај закључак документују прегледом литературе, објављене последњих деценија, која описује експерименте са бебама. На пример, одојчад брзо постаје узбуђена или радознала када се суочи са „немогућим” ситуацијама, као што је појављивање три играчке када су у почетку биле присутне само две.
Аутори тврде да математика иде далеко изнад овог веома елементарног нивоа због великог броја метафоричких конструкција. На пример, питагорејски став да је све број и повезана криза поверења до које је дошло са открићем ирационалности квадратног корена из два, произилази искључиво из метафоричког односа између дужине дијагонале квадрата и могућих бројева објеката.
Већи део WMCF бави се важним концептима бесконачности и граничних процеса, настојећи да објасни како би коначни људи који живе у коначном свету уопште могли да замисле актуелну бесконачност. Стога је већи део WMCF заправо студија епистемолошких основа калкулуса. Лејкоф и Нуњез закључују да, иако потенцијална бесконачност није метафорична, актуелна бесконачност јесте. Штавише, све манифестације актуелне бесконачности сматрају примерима онога што називају „основним метафорама бесконачности”, представљеним низом који се стално повећава 1, 2, 3, ...
WMCF категорички одбацује платонистичку филозофију математике. Они наглашавају да све што знамо и икада можемо знати јесте „људска математика”, математика која произилази из људског интелекта. Питање да ли постоји „трансцендентна” математика независна од људске мисли је бесмислено, попут питања да ли су боје трансцендентне људској мисли — боје су само различите таласне дужине светлости, наша интерпретација физичких стимулуса је оно што их чини бојама.
WMCF (стр. 81) на сличан начин критикује нагласак који математичари стављају на концепт затворености. Лејкоф и Нуњез тврде да је очекивање затворености артефакт способности људског ума да повезује фундаментално различите концепте путем метафоре.
WMCF се углавном бави предлагањем и успостављањем алтернативног погледа на математику, оног који утемељује ову област у реалностима људске биологије и искуства. То није дело техничке математике или филозофије. Лејкоф и Нуњез нису први који тврде да су конвенционални приступи филозофији математике мањкави. На пример, чини се да нису толико упознати са садржајем Дејвиса и Херша (1981), иако књига топло захваљује на Хершовој подршци.
Лејкоф и Нуњез цитирају Сондерса Маклејна (који је са Самјуелом Ајленбергом изумео теорију категорија) као подршку свом ставу. Његово дело Mathematics, Form and Function (1986), преглед математике намењен филозофима, предлаже да су математички концепти у крајњој линији утемељени у обичним људским активностима, углавном интеракцијама са физичким светом.Види посебно табелу у Mac Lane (1986),
Примери математичких метафора Концептуалне метафоре описане у WMCF, поред Основне метафоре бесконачности, укључују: Аритметика је кретање дуж путање, прикупљање/конструкција објеката; Промена је кретање; Скупови су контејнери, објекти; Непрекидност је без празнина; Математички системи имају „суштину”, односно њихову аксиоматску алгебарску структуру; Функције су скупови уређених парова, криве у Декартовој равни; Геометријске фигуре су објекти у простору; Логичка независност је геометријска ортогоналност; Бројеви су скупови, колекције објеката, физички сегменти, тачке на правој; Понављање је кружно.
Математичко резоновање захтева променљиве које се крећу унутар неког домена расправе, тако да можемо резоновати о општостима, а не само о појединостима. WMCF тврди да се резоновање са таквим променљивама имплицитно ослања на оно што назива фундаменталном метонимијом алгебре.
Пример метафоричке двосмислености WMCF (стр. 151) укључује следећи пример онога што аутори називају „метафоричком двосмисленошћу”. Узмимо скуп Затим се подсетимо два дела стандардне терминологије из елементарне теорије скупова: Рекурзивна конструкција редних природних бројева, где је 0 , а је Уређени пар (a,b), дефинисан као
Према (1), A је скуп {1,2}. Али (1) и (2) заједно кажу да је A такође уређени пар (0,1). Обе изјаве не могу бити тачне; уређени пар (0,1) и неуређени пар {1,2} су потпуно различити концепти. Лејкоф и Џонсон (1999) ову ситуацију називају „метафорички двосмисленом”. Овај једноставан пример доводи у питање било какве платонистичке основе математике.
Иако су (1) и (2) изнад несумњиво канонски, посебно у оквиру консензусне теорије скупова познате као Цермело-Френкелова аксиоматизација, WMCF не открива да су то само једна од неколико дефиниција које су предложене од освита теорије скупова. На пример, Фреге, Principia Mathematica и Нове основе (систем аксиоматске теорије скупова који је започео Квајн 1937. године) дефинишу кардиналне и редне бројеве као класе еквиваленције под релацијама еквинумерозности и сличности, тако да до ове загонетке не долази. У Квајновој теорији скупова, A је једноставно инстанца броја 2. Из техничких разлога, дефинисање уређеног пара као у (2) изнад је незграпно у Квајновој теорији скупова. Предложена су два решења: Варијантна скуповно-теоријска дефиниција уређеног пара која је сложенија од уобичајене; Узимање уређених парова као примитивних појмова.
„Романса математике” „Романса математике” је лежеран термин у WMCF за вечито филозофско гледиште о математици које аутори описују, а затим одбацују као интелектуални мит: Математика је трансцендентна, односно постоји независно од људских бића, и структурира наш стварни физички универзум и сваки могући универзум. Математика је језик природе и представља примарну концептуалну структуру коју бисмо имали заједничку са ванземаљцима, ако такви постоје. Математички доказ је капија ка царству трансцендентне истине. Резоновање је логика, а логика је у суштини математичка. Стога математика структурира свако могуће резоновање. Зато што математика постоји независно од људских бића, а резоновање је у суштини математичко, сам разум је бестелесан. Према томе, вештачка интелигенција је могућа, барем у принципу.
Веома је отворено питање да ли ће се WMCF на крају показати као почетак нове школе у филозофији математике. Стога главна вредност WMCF до сада може бити критичка: њене критике платонизма и романтизма у математици.
Критички одговор Многи активни математичари пружају отпор приступу и закључцима Лејкофа и Нуњеза. Рецензије WMCF од стране математичара у стручним часописима, иако често поштују фокус књиге на концептуалне стратегије и метафоре као путеве за разумевање математике, успротивиле су се неким филозофским аргументима WMCF на основу тога што математичке тврдње имају трајна „објективна” значења. На пример, Последња Фермаова теорема значи тачно оно што је значила када ју је Ферма првобитно предложио 1664. године. Други рецензенти су истакли да се више концептуалних стратегија може употребити у вези са истим математички дефинисаним термином, често од стране исте особе (што је у складу са ставом да рутински разумемо „исти” концепт са различитим метафорама). Метафора и концептуална стратегија нису исто што и формална дефиниција коју математичари користе. Међутим, WMCF истиче да се формалне дефиниције граде помоћу речи и симбола који имају значење само у контексту људског искуства.
Критике WMCF укључују и оне хумористичне:
и оне физички информисане:
Лејкоф и Нуњез склони су да одбаце негативна мишљења која су математичари изнели о WMCF, јер њихови критичари не цене увиде когнитивне науке. Лејкоф и Нуњез тврде да се њихов аргумент може разумети само коришћењем открића из последњих деценија о начину на који људски мозгови обрађују језик и значење. Они тврде да било какви аргументи или критике који нису утемељени у овом разумевању не могу адекватно да се баве садржајем књиге.
Истакнуто је да уопште није јасно да WMCF доказује како је тврдња „интелигентни ванземаљски живот би имао математичке способности” мит. Да би се то урадило, било би потребно показати да су интелигенција и математичка способност одвојиви, а то није урађено. На Земљи се чини да интелигенција и математичка способност иду руку под руку код свих облика живота, као што је истакао Кит Девлин, између осталих. Аутори WMCF нису објаснили како би ова ситуација била (или би уопште могла бити) другачија било где другде.
Чини се да Лејкоф и Нуњез такође не цене у којој мери су интуиционисти и конструктивисти предвидели њихов напад на романсу (платонистичке) математике. Брауер, оснивач интуиционистичког/конструктивистичког становишта, у својој дисертацији О основама математике, тврдио је да је математика ментална конструкција, слободна креација ума и потпуно независна од логике и језика. Он даље критикује формалисте због изградње вербалних структура које се проучавају без интуитивне интерпретације. Симболички језик не треба мешати са математиком; он одражава, али не садржи, математичку стварност.
Просветни радници су показали извесно интересовање за оно што WMCF сугерише о томе како се математика учи и зашто ученицима неки елементарни концепти падају теже од других.