У филозофији математике, Бенасерафов проблем идентификације је филозофски аргумент који је развио Пол Бенасераф против теоретскоскуповног платонизма и објавио га 1965. године у чланку под насловом „Оно што бројеви не би могли бити” (енгл. What Numbers Could Not Be).Paul Benacerraf (1965), „What Numbers Could Not Be”, Philosophical Review Vol. 74, Bob Hale and Crispin Wright (2002) „Benacerraf's Dilemma Revisited” European Journal of Philosophy, 10(1). Историјски гледано, ово дело је постало значајан катализатор у мотивисању развоја математичког структурализма.Stewart Shapiro (1997) New York: Oxford University Press,

Проблем идентификације тврди да постоји фундаментални проблем у редуковању природних бројева на чисте скупове. Пошто постоји бесконачан број начина да се природни бројеви идентификују са чистим скуповима, ниједан конкретан теоретскоскуповни метод не може бити одређен као „права” редукција. Бенасераф закључује да сваки покушај да се направи такав избор редукције одмах резултира стварањем теоретскоскуповне неистине на мета-нивоу, наиме у односу на друге елементарно еквивалентне теорије скупова које нису идентичне изабраној. Проблем идентификације сугерише да ово ствара основни проблем за платонизам, који тврди да математички објекти имају реално, апстрактно постојање. Бенасерафова дилема за платонистичку теорију скупова тврди да је платонистички покушај да се идентификује „права” редукција природних бројева на чисте скупове, као откривање унутрашњих својстава ових апстрактних математичких објеката, немогућ. Као резултат тога, проблем идентификације на крају тврди да однос теорије скупова према природним бројевима не може имати онтолошки платонистичку природу.

Историјске мотивације

Историјска мотивација за развој Бенасерафовог проблема идентификације произилази из фундаменталног онтолошког проблема. Од времена средњовековне филозофије, филозофи су расправљали о томе да ли онтологија математике садржи апстрактне објекте. У филозофији математике, апстрактни објекат се традиционално дефинише као ентитет који: (1) постоји независно од ума; (2) постоји независно од емпиријског света; и (3) има вечна, непроменљива својства.Michael Loux (2006) Metaphysics: A Contemporary Introduction (Routledge Contemporary Introductions to Philosophy), London: Routledge. Традиционални математички платонизам тврди да су неки скупови математичких елемената – природни бројеви, реални бројеви, функције, релације, системи – такви апстрактни објекти. Насупрот томе, математички номинализам негира постојање било каквих таквих апстрактних објеката у онтологији математике.

Крајем 19. и почетком 20. века, бројни антиплатонистички програми стекли су популарност. Ови програми укључивали су интуиционизам, формализам и предикативизам. До средине 20. века, међутим, ове антиплатонистичке теорије имале су низ сопствених проблема. Ово је касније довело до поновног раста интересовања за платонизам. Управо у овом историјском контексту развиле су се мотивације за проблем идентификације.

Опис

Проблем идентификације почиње доказивањем постојања одређеног скупа елементарно еквивалентних, теоретскоскуповних модела природних бројева. Бенасераф разматра два таква теоретскоскуповна метода:

Теоретскоскуповни метод I (користећи Цермелоове ординале)

Теоретскоскуповни метод II (користећи фон Нојманове ординале)

Као што Бенасераф показује, и метод I и метод II редукују природне бројеве на скупове. Бенасераф формулише дилему као питање: који од ових теоретскоскуповних метода јединствено пружа истините исказе о идентитету, који разјашњавају праву онтолошку природу природних бројева? Било метод I или метод II могао би се користити за дефинисање природних бројева и накнадно генерисање истинитих аритметичких исказа како би се формирао математички систем. У њиховом међусобном односу, елементи таквих математичких система су изоморфни у својој структури. Међутим, проблем настаје када се ове изоморфне структуре повежу заједно на мета-нивоу. Дефиниције и аритметички искази из система I нису идентични дефиницијама и аритметичким исказима из система II. На пример, два система се разликују у одговору на питање да ли је 0 ∈ 2, утолико што ∅ није елемент скупа . Дакле, у смислу неуспеха транзитивности идентитета, потрага за истинитим исказима о идентитету такође пропада. Покушај редуковања природних бројева на скупове доводи до теоретскоскуповне неистине између изоморфних структура различитих математичких система. То је суштина проблема идентификације.

Он то такође демонстрира причом коју Пенелопи Меди описује у књизи Реализам у математици (енгл. Realism in Mathematics):

„Ерни и Џони су обојица одрасли учећи теорију скупова. Када дође време да уче аритметику, Ернију кажу, на његово одушевљење, да он већ зна бројеве; то су 0 (звана 'нула'), {0} (звана 'један'), {0, {0}} (звана 'два'), и тако даље. Његови наставници дефинишу операције сабирања и множења на овим скуповима, и када се заврши сво преименовање, Ерни броји и рачуна баш као и његови школски другови. Џонијева прича је потпуно иста, осим што њему кажу да су Цермелоови ординали бројеви. И он броји и рачуна у сагласности са својим школским друговима, као и са Ернијем. Дечаци уживају да заједно решавају задатке, уче о простим бројевима, траже савршене бројеве итд. Али Ерни и Џони су радознали мали дечаци; они желе да знају све што могу о тим дивним стварима, бројевима. У том процесу, Ерни открива изненађујућу чињеницу да је један члан броја три. Заправо, он генерализује, ако је n веће од m, онда је m члан броја n. Пун ентузијазма, он ову чињеницу представља свом омиљеном другу у игри. Али ту се, нажалост, математичка сарадња у повоју прекида. Џони не само да не дели Ернијев ентузијазам, већ проглашава ту цењену теорему потпуно лажном! Он чак не жели ни да призна да три има три члана!”

Према Бенасерафу, филозофске последице овог проблема идентификације резултирају тиме да платонистички приступи падају на онтолошком тесту. Аргумент се користи да би се демонстрирала немогућност платонизма да редукује бројеве на скупове и открије постојање апстрактних објеката.

Види још Бенасерафов епистемолошки проблем

Референце

Литература

Категорија:Филозофски аргументи Категорија:Теорија скупова Категорија:Структурализам (филозофија математике)