У математиці, відстань або метрика Канторовича- — це функція відстані, визначена між розподілами ймовірностей у заданому метричному просторі . Названа на честь .
Означення Нехай — метричний простір, де кожна міра є мірою Радона. Для , — відстань Васерштейна між двома ймовірнісними мірами та на зі скінченними -ми моментами визначається як
де — множина всіх каплінгів та Каплінг — це спільний розподіл ймовірностей на такий, що
Приклади
Детерміновані розподіли Нехай та — два виродженні розподіли, зосереджені в точках та в Існує тільки один можливий каплінг цих двох мір — Тоді, використовуючи модуль різниці як метрику на для довільного -відстань Васерштейна між мірами та визначається як
Одновимірні розподіли Нехай — ймовірнісні міри на Позначимо їхні функції розподілу ймовірностей як та відповідно. Тоді -відстань Васерштейна між мірами та визначається як
У випадку , використовуючи формулу заміни змінних, отримуємо
Нормальний розподіл Нехай — дві невиродженні гаусові міри в з середніми та і матрицями коваріації та відповідно. Тоді, використовуючи звичайну евклідову метрику на , -відстань Васерштейна для та визначається як
Властивості Збіжність в метриці еквівалентна звичайній слабкій збіжності плюс збіжності перших -их моментів. Якщо та мають обмежений носій, то де — найменша константа Ліпшиця для Нехай — сукупність всіх ймовірнісних мір на зі скінченним -м моментом. Для довільного метричний простір є повним та сепарабельним, якщо — повний та сепарабельний.
Див. також
Метрика Леві Транспортна задача Критерій узгодженості Колмогорова
Література
Додаткова література