Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:
Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в -вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?
Висунув 1933 року. Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадків та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникало. Однак 1993 року знайдено контрприклад.
доведено, що гіпотеза істинна при , і хибна для , статус твердження для залишається нез'ясованим.
Сприятливі розв'язки Випадок очевидний. Випадок довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра . Крім того, Борсук довів, що -вимірну кулю не можна розділити на частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).
1946 року довів справедливість гіпотези при всіх для опуклих тіл із гладкою межею.
1947 року довів випадок для всіх обмежених тіл, незалежно від нього 1955 року цей самий результат отримав британський математик Егглстон; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і Альдар Геппеш; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.
Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний -вимірний симплекс.
1993 року Борис Декстер установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок, 1995 року він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях.
Число Борсука Число Борсука — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в -вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для . Порівняно легко отримані оцінки і . 1983 року Маршалл Лассак з'ясував, що .
Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка (1965): ; 1988 року показав, що:
.
Заперечні розв'язки Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року і , які побудували контрприклад у розмірності та довели невиконання гіпотези для всіх . Крім того, вони показали, що для досить великих , існують -вимірні тіла, які не можна розбити на частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:
1993 — (Калаї — Кан), 1994 — (Ніллі), 1997 — (Вайсбах — Грей), 1997 — (Райгородський), 2000 — (Вайсбах), 2001 — (Гінрігз), 2002 — (Піхурко), 2003 — (Гінрігз — Ріхтер), 2013 — (Бондаренко), 2013 — (Єнріх).
Для побудови контрприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результати. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — , у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до .
Варіації та узагальнення 1953 року висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:
,
тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тілом.
1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при .
1991 року цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь.
2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі з евклідовою метрикою та з метрикою .
2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові.
Примітки
Література (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)