Рівняння Якобі — Маддена — це діофантове рівняння

яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. Мадден. Змінні a, b, c і d можуть бути будь-якими цілими числами, додатними, від'ємними або 0Будь-який нетривіальний розв'язок має включати як додатні, і від'ємні значення.. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.

Історія З кожного розв'язку рівняння Якобі — Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння

,

яке вперше запропонував 1772 року Леонард Ейлер, який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як гіпотеза Ейлера, є природним узагальненням великої теореми Ферма; останню довів для четвертого степеня сам П'єр Ферма.

першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеня.

Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язківJaroslaw Wroblewski Database of solutions to the Euler’s equation . 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язків із розв'язку рівняння Якобі — Маддена:

Підхід Якобі та Мадден почали з

і тотожності,

.

Додавши до обох частин рівняння,

можна бачити, що це окремий випадок піфагорової трійки,

Вони потім використали розв'язок Брудно й еліптичну криву для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі — Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу , в побудові використано ненульові значення змінних.

Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як

яке знайшов Ярослав Вроблевський, дає іншу нескінченну серію розв'язківSeiji Tomita, Solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 , 2010..

У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі — Маддена з невеликими значеннямиSeiji Tomita, New solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 , 2015.:

Див. також

Гіпотеза Біла

Число таксі Піфагорова четвірка

Примітки

Література