Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.
Для підмножини частково впорядкованої множини :
І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) ( — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається .
Супремум (точна верхня межа, верхня грань) ( — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається .
Пов'язані визначення
Для підмножини частково впорядкованої множини :
Міноранта чи нижня межа — елемент , такий що .
Мажоранта чи верхня межа — елемент , такий що .
Визначення Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом ( — найвищий) підмножини , називається найменший елемент , який є мажорантою .
Більш формально: — множина мажорант , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи
Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом ( — найнижчий) підмножини , називається найбільший елемент , який є мінорантою .
Властивості
Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти. Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума. Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно. І навпаки, для підмножини : якщо , то є найменшим елементом та мінімумом , позначається . якщо , то є найбільшим елементом та максимумом , позначається .
Арифметичні операції ...
Інфімум та супремум для дійсних чисел Аксіома Дедекінда
Див. також Двоїстість (теорія порядку) Істотний інфімум та істотний супремум Верхня та нижня межа Найбільший та найменший елемент Максимальні та мінімальні елементи Поєднання та зустріч
Джерела