Каппа (також крива Ґутшовена) — плоска алгебрична крива 4-го порядку з однією особливою точкою (вироджений вузол), двома асимптотами та двома осями симетрії.

Означення: Криву можна означити як геометричне місце точок дотику дотичних, проведених з початку координат (точки ) до кола радіуса , центр якого переміщується вздовж осі абсцис (осі ).

Також криву можна означити наступним чином (Барроу): На полярній осі відкладаємо відрізок і в точці проводимо перпендикуляр до цієї осі. Із полюса проводимо довільний промінь, що перетинає цей перпендикуляр в точці . На променю відкладаємо відрізок ; геометричне місце точок при обертанні променя навколо полюса є каппою.

Також криву можна означити наступним чином: Проводимо коло з центром в початку координат і радіусом . Проводимо довільний радіус та перпендикулярно до нього промінь . Паралельно до полярної осі проводимо пряму до її перетину з променем в точці . Геометричне місце точок є каппою.

Крива вперше вивчалася математиком Джерардом ван Ґутшовеном в 1662р. Пізніше її досліджували Ісаак Ньютон та Йоганн Бернуллі.

Рівняння

Рівняння кривої в декартовій системі координат в неявному виді:

При цьому початок координат є вузловою точкою кривої, осі координат є осями симетрії кривої, а прямі є асимптотами кривої.

Рівняння описує криву, що повернута відносно початку координат на радіан, тобто має асимптоти .

Рівняння кривої в декартовій системі координат в параметричному виді:

Рівняння кривої в полярній системі координат:

Рівняння описує криву, що повернута відносно полюса на радіан, тобто має асимптоти .

Метричні характеристики

Площа Квадратуру каппи вперше здійснив Ґюйґенс, довівши що площа области, яка обмежена віссю ординат (віссю ), гілкою каппи та її асимптотою дорівнює половині площі твірного круга:

Кривина кривої в точці, що відповідає полярному куту :

Кут нахилу дотичної в точці, що відповідає полярному куту :

Властивості та особливості форми

Каппа є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку, роду 0.Kappa Curve на сайті people.math.carleton.caКаппа є необмеженою зв'язною центральносиметричною кривою з однією особливою точкою (вироджений вузол) в початку координат. Точка  — точка самоперетину. Пряма  — дотична у вузловій точці. Має дві взаємноперпендикулярні осі симетрії (осі координат). Має дві горизонтальні асимптоти .

Каппа є радіальною кривою трактриси. Ferréol Robert , Kappa, на сайті MATHCURVE.COM, 2017

Каппа належить до сімейства кривих, що мають рівняння в полярній системі координат.Ці криві мають назву «вузли» (англ. nodal curve Ferréol Robert , NODAL CURVE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017). Всі криві цього сімейства мають в початку координат вузлову точку, та асимптоти, які паралельні до координатних осей.До цього сімейства, зокрема, належить також строфоїда , та крива «вітровий млин» .Особливістю цих кривих є те, що застосовуючи до вузла інверсію відносно початку координат, отримаємо також вузол , що конгруентний даному, але повернутий на радіан. Дотичні через нескінченно малі

Дотичні до кривої «каппа» можна також визначити геометрично, використовуючи диференціали та елементарні правила арифметики нескінченно малих. Нехай і  — змінні, а  — деяка стала. З означення каппи маємо:

Тепер, нескінченно мала зміна положення точки повинна також змінити значення лівої частини, так що

Обчислюємо диференціал, застосовуючи правила диференціювання:

Похідна

Якщо використовувати сучасне поняття функціональної залежності і провести диференціювання неявно заданої функції, то нахил дотичної до кривої в точці :

Примітки

Література

Посилання

Ferréol Robert , Kappa, на сайті MATHCURVE.COM, 2017 (MacTutor History of Mathematics Archive). Jan Wassenaar, Kappa Curve, на сайті www.2dcurves.com. Kappa Encyclopedia of Mathematics. , 2014. Kappa Curve на сайті people.math.carleton.ca