Теорія зображеньНа цій сторінці використовується термінологія, наведена в підручнику «Основи квантової механіки» І. Р. Юхновського. Слово зображення () можна перекласти також, як представлення або подання. — розділ квантової механіки, в якому розглядаються різні форми подання основних квантовомеханічних рівнянь.
Теорія зображень розроблена Полем Діраком. При розв'язку квантово-механічних задач використовуються різні зображення, виходячи з міркувань зручності. Серед найвідоміших із них: координатне зображення, імпульсне зображення, енергетичне зображення, картина Шредінгера, картина Гейзенберга, картина взаємодії, зображення чисел заповнення тощо.
Базиси у гільбертовому просторі станів Квантова механіка виходить з того, що фізична система описується вектором у певному гільбертовому просторі, який називають вектором стану. Зручно працювати не з самими векторами, а з розкладом цих векторів у певному базисі. Оскільки вибір базису в гільбертовому просторі неоднозначний, то й розкладів вектора стану може бути як завгодно багато. Такі розклади називаються зображеннями.
Базис у Гільбертовому просторі зручно будувати з власних векторів певного оператора. В залежності від вибраного оператора розрізняють різні зображення.
Координатне зображення В координатному зображенні фізична система описується хвильовою функцією, залежною від координат частинок. Оператори, які відповідають вимірюваним фізичним величинам також залежать від координат частинок. Середнє значення вимірюваної величини A визначається як ,
де — оператор величини A, — хвильова функція, а — узагальнене позначення для координато всіх частинок фізичної системи.
Еволюція хвильової функції описується рівнянням Шредінгера
Імпульсне зображення Базис у гільбертовому просторі станів можна скласти з власних функцій оператора імпульсу . При цьому отримують зображення, яке називають імпульсним. Воно зручне для вивчення задач розсіювання.
Власні функції оператора імпульсу суть монохроматичні плоскі хвилі із хвильовим вектором , який можна вибрати як квантове число. Позначивши ці власні функції (дивіться Бра-кет нотація), причому
де — дельта-функція Дірака, координатну хвильову функцію можна розкласти в базисі, утвореному цими функціями
Функція описує квантову систему в імпульсному зображенні.
Середнє значення фізичної величини визначається, як
Функція двох змінних задає квантовомеханічний оператор в імпульсному зображенні.
Енергетичне зображення В енергетичному зображенні базис гільбертового простору станів вибирається з власних функцій оператора енергії — гамільтоніана. Якщо n — квантове число, що характеризує стани з енергією , то для функції існує розклад .
Коефіцієнти розкладу утворюють вектор у гільбертовому просторі. У випадку дискретного спектру енергій його можна подати у вигляді нескінченного стовпчика. У випадку неперервного спектру — це функція, аргументами якої є енергія та інші квантові числа.
Оператором вимірваної величини є матриця, елементи якої визначаються з рівняння
Зображення чисел заповнення Розглядаючи стани в просторі Фока, можна побудувати базис таким чином, щоб окрім інших квантових чисел, таких як хвильовий вектор, спін тощо, базисні хвильові функції були власними функціями оператора числа частинок ,
де і — оператори народження і знищення, відповідно. Тоді позначення
має прозоре фізичне значення — число частинок у даному квантовому стані. Для бозонів n може приймати довільні цілі невід'ємні значення, для ферміонів n може бути нулем, або одиницею.
Таке зображення називається зображенням чисел заповнення.
Примітки
Література