Індійська математика виникла на Індійському субконтиненті з 1200 року до нашої ери до кінця XVIII століття. У класичний період індійської математики (400—1200 рр. н. е.) важливий внесок зробили такі вчені, як Аріабгата I, Брамагупта, Бгаскара II, Варагамігіра та Мадгава. Десяткова система числення, яка використовується сьогодні: «Міра геніальності індійської цивілізації, якій ми завдячуємо нашою сучасною (чисельною) системою, тим більше, що вона була єдиною в усій історії, яка досягла цього тріумфу. Деяким культурам вдалося раніше, ніж індійській, виявити одну або, в кращому випадку, дві характеристики цього інтелектуального подвигу. Але жодна з них не змогла об'єднати в повну й узгоджену систему необхідні й достатні умови для системи числення з таким же потенціалом, як наша власна», була вперше описана в індійській математиці. Індійські математики зробили ранній внесок у вивчення концепції нуля як числа: «… наша десяткова система, яка (за допомогою арабів) походить від індійської математики, де її використання засвідчено вже з перших століть нашої ери. Крім того, слід зазначити, що концепція нуля як числа, а не як простого символу відокремлення) і його введення в обчислення також відносять до початкового внеску індійців»., від'ємних чисел: Сучасна арифметика була відома в середньовіччі як «Modus Indorum» або метод індійців. Фібоначчі писав, що в порівнянні з індійським методом всі інші методи є помилкою. Цей метод індійців є нічим іншим, як нашою дуже простою арифметикою додавання, віднімання, множення та ділення. Правила цих чотирьох простих процедур були вперше записані Брахмагуптою в VII столітті нашої ери. «З цього приводу індійці вже усвідомлюють інтерпретацію того, що від'ємні числа повинні використовуватись в певних випадках (наприклад, борг у задачі з комерції). У наступні століття, коли відбувається поширення на Захід (через посередництво арабів) методів і результатів грецької та індійської математики, стає звичним працювати з цими числами, і починають виникати інші „представлення“ для них, які є геометричними чи динамічними», арифметики та алгебри. Крім того, тригонометрія Quote: Цитата: «Геометрія та її розділ тригонометрія — це математика, яку індійські астрономи використовували найчастіше. Грецькі математики використовували повну хорду і ніколи не уявляли собі півхорду, яку ми використовуємо сьогодні. Півхорду вперше використав Аріабгата, що значно спростило тригонометрію. Насправді індійські астрономи третього чи четвертого сторіччя, використовуючи доптолемеївську грецьку таблицю хорд, створили таблиці синусів і версинусів, з яких було просто вивести косинуси. Ця нова система тригонометрії, створена в Індії, була передана арабам наприкінці VIII століття і ними, у розширеній формі, на латинський Захід і візантійський Схід у XII столітті» отримала подальший розвиток в Індії, зокрема, там були розроблені сучасні визначення синуса та косинуса: «Що стосується тригонометрії, то нею нехтують геометри і залишають її землемірам та астрономам; саме останні (Аристарх, Гіппарх, Птолемей) встановлюють фундаментальні співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника (плоського чи сферичного) і складають перші таблиці (вони складаються з таблиць, що дають хорду дуги, вирізаної кутом на колі радіуса r, іншими словами число ; введення синуса, з яким легше працювати, належить індійським математикам середньовіччя)».. Ці математичні концепції були передані на Близький Схід, в Китай і Європу«algebra» 2007. Britannica Concise Encyclopedia . Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Цитата: «Повноцінна десяткова позиційна система безсумнівно існувала в Індії до IX століття (н. е.), але багато з її основних ідей були передані Китаю та ісламському світу задовго до того. Індійська арифметика, крім того, розробила послідовні і коректні правила для роботи з додатними та від'ємними числами та трактування нуля як будь-якого іншого числа, навіть у проблематичних контекстах, таких як ділення. Минуло кілька сотень років, перш ніж європейські математики повністю інтегрували такі ідеї в дисципліну алгебри, що розвивалась» і призвели до подальших розробок, які зараз складають основу багатьох областей математики.
Стародавні та середньовічні індійські математичні твори, усі написані на санскриті, зазвичай складалися з розділу сутр, у якому набір правил або проблем було подано стисло у віршах, щоб допомогти студентам запам'ятати. Далі слідував другий розділ, який складався з коментаря, написаного прозою (іноді кількох коментарів різних учених), який більш детально пояснював задачу та надавав обґрунтування її розв'язання. У розділі, написаному прозою, форма (і, отже, її запам'ятовування) вважалася менш важливою, ніж залучені ідеї. Усі математичні праці передавалися усно приблизно до 500 р. до н. е.; після цього вони передавалися як усно, так і в рукописній формі. Найстарішим математичним документом, що зберігся на Індійському субконтиненті, є берестяний , знайдений у 1881 році в селі поблизу Пешавара (сучасний Пакистан) який, ймовірно, відноситься до VII століття нашої ери.
Пізнішою віхою в індійській математиці стала розробка математиками керальської школи в XV столітті н. е. розкладів в ряди тригонометричних функцій (синуса, косинуса і арктангенса). Їхня робота, завершена за два століття до винаходу диференціального та інтегрального числення в Європі, створила те, що зараз вважається першим прикладом степеневого ряду (крім геометричних рядів). Однак вони не сформулювали систематичної теорії диференціювання та інтегрування, а також немає жодних прямих доказів того, що їхні результати передавалися за межі Керали Цитата: «Немає ніяких доказів того, що робота в Індії над рядами була відома за межами Індії чи навіть Керали до XIX століття. Голд і Пінгрі стверджують , що до того часу, коли ці ряди були знову відкриті в Європі, вони були, з практичної точки зору, втрачені для Індії. Розклади синуса, косинуса й арктангенса передавалися через кілька поколінь учнів, але вони залишалися безплідними спостереженнями, яким ніхто не міг знайти особливого застосування» Цитата: «Незвичайно зустріти в дискусіях про індійську математику такі твердження, як те, що „концепція диференціювання була зрозуміла [в Індії] з часів Манджули (… у X столітті)“ [Joseph 1991, 300], або що „ми можемо вважати Мадгаву засновником математичного аналізу“ (Joseph 1991, 293), або що Бгаскара II може вважатися „попередником Ньютона і Лейбніца у відкритті принципу диференціального числення“ (Bag 1979, 294)…. Елементи подібності, зокрема між раннім європейським численням і роботою школи Керали над степеневими рядами, навіть надихнули на припущення про можливу передачу математичних ідей з Малабарського узбережжя в/або після XV століття до латинського наукового світу (наприклад, (Bag 1979, 285)). … Слід, однак, мати на увазі, що такий наголос на подібності санскритської (або малаяламської) і латинської математики ризикує зменшити нашу здатність повністю побачити й зрозуміти першу. Розмови про індійське „відкриття принципу диференціального числення“ дещо приховує той факт, що індійські методи вираження змін синуса за допомогою косинуса або навпаки, як у прикладах, які ми бачили, залишалися в контексті цієї специфічної тригонометрії. „Принцип“ диференціювання не був узагальнений для довільних функцій — насправді, явне поняття довільної функції, не кажучи вже про її похідну або алгоритм для отримання похідної недоречний в цьому контексті». Цитата: «Один приклад, який я можу вам навести, стосується демонстрації індійцем Мадгавою приблизно в 1400 р. нашої ери нескінченних степеневих рядів тригонометричних функцій із використанням геометричних і алгебраїчних аргументів. Коли її вперше описав англійською мовою , у 1830-х роках, це було визнано відкриттям диференціального числення індійцями. Це твердження та досягнення Мадгави були проігноровані західними істориками, можливо, спочатку тому, що вони не могли визнати, що індієць відкрив числення, але пізніше тому, що ніхто інший не читав журнал Праці Королівського азіатського товариства, в якому була опублікована стаття Віша. До цього питання знову повернулися в 1950-х роках, і тепер ми маємо належно відредаговані тексти на санскриті і розуміємо, яким розумним способом Мадгава вивів ряди без диференціального числення; але багато істориків досі вважають неможливим уявити задачу та її розв'язання з погляду чогось іншого, крім диференціального числення, і проголошують, що диференціальне числення — це те, що винайшов Мадгава. У цьому випадку елегантність і блиск математики Мадгави спотворено, оскільки вони поховані під сучасним математичним розв'язанням задачі, для якої він знайшов альтернативне та переконливе розв'язання». Цитата: «Наскільки близько підійшли ісламські та індійські вчені до винайдення диференціального числення? Ісламські вчені майже розробили загальну формулу для знаходження інтегралів від поліномів до 1000 року нашої ери — і, очевидно, могли знайти таку формулу для будь-якого полінома, який їх цікавив. Але, виявляється, їх не цікавив жоден поліном степеня вище чотирьох, принаймні в будь-яких свідченнях, що дійшли до нас. Індійські вчені, з іншого боку, змогли до 1600 року використати формулу суми Ібн аль-Хайсама для довільних інтегральних степенів для обчислення степеневих рядів функцій, які їх цікавили. У той же час вони також знали, як обчислювати диференціали цих функцій. Отже, деякі з основних ідей диференціального числення були відомі в Єгипті та Індії за багато століть до Ньютона. Проте здається малоймовірним, що ісламські чи індійські математики бачили потребу в уніфікації деяких розрізнених ідей, які ми об'єднуємо під назвою диференціальне числення. Їх, очевидно, цікавили лише конкретні випадки, коли ці ідеї були потрібні … Тому немає побоювань, що нам доведеться переписувати історичні тексти, щоб видалити твердження про те, що Ньютон і Лейбніц винайшли диференціальне числення. Вони, безперечно, були тими, хто зміг об'єднати багато різних ідей у двох об'єднуючих темах похідної та інтеграла, показати зв'язок між ними та перетворити диференціальне числення на чудовий інструмент розв'язування задач, який ми маємо сьогодні»..
Передісторія
Розкопки в Хараппі, Мохенджо-Даро та інших місцях Індської цивілізації знайшли докази використання «практичної математики». Представники Індської цивілізації виготовляли цеглу розмірами у співвідношенні 4:2:1, що вважалося сприятливим для стабільності цегляної конструкції. Вони використовували стандартизовану систему ваг, засновану на співвідношеннях 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 і 500 з одиницею ваги, що дорівнює приблизно 28 грамам (і приблизно дорівнює англійській унції або грецькій унції). Вони масово виробляли гирі правильних геометричних форм, які включали шестигранники, бочки, конуси та циліндри, демонструючи тим самим знання базової геометрії.
Представники Індської цивілізації також намагалися стандартизувати вимірювання довжини з високою точністю. Вони розробили лінійку Мохенджо-Даро, одиниця довжини якої (приблизно 3,4 сантиметра або 1,32 дюйма) була поділена на десять рівних частин. Цегла, виготовлена в стародавньому Мохенджо-Даро, часто мала розміри, кратні цій одиниці довжини.
Показано, що порожнисті циліндричні об'єкти, зроблені з раковин молюсків, знайдені в Лоталі (2200 р. до н. е.) і Дголавірі дозволяють вимірювати кути на площині, а також визначати положення зірок для навігації.
Ведичний період
Самхіта і брахмани Релігійні тексти ведичного періоду свідчать про використання . До часів Яджур-веда (, 1200—900 BCE) тексти містили числа до . Наприклад, мантра (священна декламація) наприкінці аннахоми («обряду причащання їжі») що виконується під час ашвамедги, та виголошується безпосередньо перед, під час і одразу після сходу сонця, використовує степені десяти від ста до трильйона:
Дроби були відомі людям часів Ріґведи, як зазначено в Пуруша-Сукті (RV 10.90.4):