Вла́сна частота́ — це швидкість, з якою коливальна система має тенденцію коливатися синусоїдально з однаковою частотою за відсутності збурень. Базовий приклад стосується простих гармонійних осциляторів, таких як ідеалізована пружина без втрати енергії, де система демонструє коливання постійної амплітуди з постійною частотою. Явище резонансу виникає, коли вимушена вібрація відповідає власній частоті системи.

Концепція власних частот також застосовна у хвильовій теорії, оптиці та квантовій механіці. Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах М.А.Ельяшевич. Атомная и молекулярная спектроскопия. — М.: Физматгиз, 1962; М.: Эдиториал УРСС, 2001. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад електронні системи, комп'ютери, акустичні системи, квантові системи) Механічні коливання і хвилі. Конспект лекцій, Суми, Вид-во Сум ДУ, 2007, 75 с. .

Класичний осцилятор

Гармонічний осцилятор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили, повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями): , де  — додатна константа, що описує жорсткість системи. Якщо  — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота не залежить від амплітуди, є характеристикою системи та називається власною. Еволюція гармонічного осцилятора з часом описується диференціальним рівнянням: ,

де  — узагальнена координата гармонічного осцилятора,  — час,  — власна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Натуральний звукоряд

При збудженні струни, наприклад ударом або щипком, вона починає здійснювати коливальні рухи, при яких всі її ділянки зміщуються в поперечному напрямку. Всі коливальні рухи є періодичними, тобто точно повторюються з часом. Один період є найменшою одиницею повторення функції та повністю описує функцію. Функцію періодичної форми можна показати знайшовши деякий період T для якого таке рівняння істинне: . Це означає, що для часу кратного деякому періоду T значення сигналу завжди однакове. Найменше можливе значення T для якого це так називається фундаментальним періодом і фундаментальною частотою є: . Будь-яке коливання струни можна представити у вигляді суми її гармонічних власних коливань, частоти яких залежать від довжини струни l, площі перетину S, натягу Q та густини матеріалу ρ наступним чином: , де n — ціле число, що відповідає номеру гармоніки. В результаті утворюється натуральний звукоряд, що складається з основного тону (n=1) та гармонічних обертонів (n>1). Основна частота утворюється коливанням струни музичного інструмента у повному об'ємі, тоді як обертони утворюються коливанням струни частинами та відповідають частотам, які утворюють з основною частотою кратні відношення Алдошина И. Основы психоакустики. c.79. Відповідно інтенсивність звукового сигналу задається суперпозицією всіх власних частот: . Обчислення ряду Фур'є від інтенсивності звукового сигналу дає амплітуди всіх гармонік, які разом передають звучання музичного інструменту. Отже, повна механічна енергія середовища, у якому існують стоячі хвилі, може бути представлена як сума енергій гармонічних осциляторів. Такий підхід використав М. Планк при обґрунтуванні гармонічного осцилятора в квантовій механіці в 1900 році.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

У квантовій механіці, стан системи описується її хвильовою функцією , що є розв’язком рівняння Шредінгера. Квадрат абсолютного значення , тобто:

, це щільність ймовірності знаходження частинки в позиції x у момент часу t. Зазвичай, коли хвильова функція пов’язана з якимось потенціалом, розкладається на суперпозицію хвильових функцій , кожна з яких коливається з власною частотою . Тому суперпозицію можна виразити: . Власні частоти мають фізичне значення за межами ортонормального базису. Коли вимірюється енергія системи, суперпозиція згортається в одну зі своїх власних хвильових функцій, що відповідає виміряній енергії. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Див. також Оптика Гармонійний осцилятор Хвильова функція Висота звуку Основна частота Натуральний звукоряд

Посилання

Джерела

СПЕКТРОФОТОМЕТРІЯ