Критерій плинності (міцності) Друкера — Прагера () — залежна від гідростатичного тиску модель, що визначає поведінку або руйнування деяких матеріалів під впливом пластичної деформації. Даний критерій був розроблений для опису пластичних деформацій глинистих ґрунтів, також він може застосовуватися для опису руйнування скельних ґрунтів, бетону, полімерів, піни та інших матеріалів, чутливих до гідростатичного тиску.
Критерій названо іменами науковців-механіків Даніеля Друкера і Вільяма Прагера, що розробили цю модель у 1952 роціDrucker, D. C. and Prager, W. (1952). Soil mechanics and plastic analysis for limit design. Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, no. 2, pp. 157—165..
Формулювання Критерій описується формулою:
де — перший інваріант тензора напружень, а — другий інваріант девіатора тензора напружень. Константи визначаються з експерименту.
В термінах еквівалентних напружень (або напружень за Мізесом) та напружень від гідростатичного тиску, критерій Друкера — Прагера може бути записаний як:
де — еквівалентне напруження, — гідростатичне напруження, і константи матеріалу. Критерій Друкера — Прагера, виражений у координатах Хейга — Вестергаарда запишеться так:
Поверхнею плинності Друкера — Прагера є згладженою версією поверхні плинності Мора—Кулона.
Вирази для параметрів A і B Модель Друкера — Прагера може бути записана в термінах головних напружень:
Якщо — границя міцності при одноосному розтягу, критерій Друкера — Прагера означає:
Якщо границя міцності при одноосному стиску, критерій Друкера — Прагера означає:
Розв'язуючи ці два рівняння, отримаємо
Одноосний асиметричний коефіцієнт Відмінність значень одновісних границь плинності в умовах розтягу та в умовах стиску передбачаються моделлю Друкера–Прагера. Коефіцієнт одновісної асиметрії для моделі Друкера–Прагера становить:
Вираз в термінах кута тертя і когезії Виходячи з того, що поверхня плинності Друкера — Прагера є згладженою версією поверхні плинності Мора — Кулона, то критерій часто виражається в термінах когезії () і кута внутрішнього тертя (), що зазвичай використовуються в теорії Мора—Кулона. Якщо допустити, що поверхня плинності Друкера — Прагера описана навколо поверхні плинності Мора — Кулона, тоді вирази для и будуть такими:
Якщо поверхня плинності Друкера — Прагера вписана у поверхню плинності Мора — Кулона, то
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left" !Виведення виразів для у вираженні через |- |Виразом для критерію плинності Мора — Кулона в просторі Хейга — Вестергаарда є
Якщо ми припустимо, що поверхня плинності Друкера — Прагера описує поверхню плинності Мора — Кулона так, що дві поверхні збігаються при , тоді в цих точках поверхня плинності Мора — Кулона може бути виражена як
або,
Критерій плинності Друкера — Прагера, виражений у координатах Хейга — Вестергаарда:
Порівнявши вирази (1.1) і (1.2), отримаємо
Вони є виразами для через .
З іншого боку, якщо поверхня Друкера — Прагера є вписаною у поверхню Мора — Кулона, то збігання двох поверхонь на дає
Модель Друкера — Прагера для полімерів Модель Друкера — Прагера використовується для моделювання поведінки таких полімерів, як поліформальдегід і поліпропіленAbrate, S. (2008). Criteria for yielding or failure of cellular materials. Journal of Sandwich Structures and Materials, vol. 10. pp. 5-51.. Для поліформальдегіду критерій міцності має лінійну залежність від гідростатичного тиску. Однак, для поліпропілену спостерігається квадратична залежність від гідростатичного тиску.
Модель Друкера — Прагера для пін Для пін модель GAZTGibson, L.J., Ashby, M.F., Zhang, J. and Triantafilliou, T.C. (1989). Failure surfaces for cellular materials under multi-axial loads. I. Modeling. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 31, no. 9, pp. 635—665. використовує:
де — критичне напруження руйнування при розтягу або стисканні, — густина піни, і — густина базового матеріалу (з якого отримано піну).
Вирази для ізотропної моделі Друкера — Прагера Критерій Друкера — Прагера також може бути використаний в альтернативній формі запису:
Критерій міцності Дешпанде — Флека Критерій міцності Дешпанде — ФлекаV. S. Deshpande, and Fleck, N. A. (2001). Multi-axial yield behaviour of polymer foams. Acta Materialia, vol. 49, no. 10, pp. 1859—1866. для пін має форму наведеного вище рівняння. Параметри для критерію Дешпанда-Флека можуть бути визначені з рівнянь
де — параметр, у якому — величина, що використовується Дешпанде і Флеком, яка визначає форму поверхні плинності, а границя міцності при розтягу або стиску.
Критерій плинності Друкера — Прагера для умов анізотропії Форма представлення критерію міцності Друкера — Прагера для анізотропного матеріалу збігається з критерієм міцності Лю — Хуана — СтаутаLiu, C., Huang, Y., and Stout, M. G. (1997). On the asymmetric yield surface of plastically orthotropic materials: A phenomenological study. Acta Materialia, vol. 45, no. 6, pp. 2397—2406. Цей критерій міцності виражений в узагальненому критерії плинності Гілла]]:
Коефіцієнти будуть:
де
і границі міцності при одноосному стиску по трьох головних напрямках анізотропії, границі міцності при одноосному розтягу, і границі міцності при чистому зсуві. Вище було допущено, що значення додатні, а — від'ємні.
Критерій плинності Друкера Критерій Друкера — Прагера не повинен суперечити більш ранньому критерію ДрукераDrucker, D. C. (1949) Relations of experiments to mathematical theories of plasticity, Journal of Applied Mechanics, vol. 16, pp. 349—357., який є незалежним від гідростатичного тиску (). Критерій Друкера запишеться у виді
де — другий інваріант девіатора тензора напруження, — третій інваріант девіатора тензора напруження, — константа, значення якої знаходиться у проміжку між 27/8 та 9/4 (щоб поверхня плинності була опуклою), — константа, що змінюється залежно від . Для , , де критерій міцності при одноосному розтягу.
Анізотропний критерій Друкера Анізотропна версія критерію плинності Друкера — критерій плинності Казаку — БарлатаCazacu, O. and Barlat, F. (2001). Generalization of Drucker's yield criterion to orthotropy. Mathematics and Mechanics of Solids, vol. 6, no. 6, pp. 613—630., що має вигляд
де — узагальнені форми девіатора тензора напруження, визначені як:
Критерій плинності Казаку — Барлата для плоского напруженого стану Для тонких металевих пластин напруження можуть розглядатися як випадок плоского напруженого стану. У цьому випадку критерій плинності Казаку-Барлата спрощується до своєї двовимірної версії:
Для тонких металевих пластин параметри критерію плинності Казаку — Барлата можуть бути знайдені за відповідними таблицями + Таблиця 1. Параметри критерію плинності Казаку — Барлата для металів і сплавів Матеріал 6016-T4 сплав алюмінію 0,815 0,815 0,334 0,42 0,04 -1,205 -0,958 0,306 0,153 -0,02 1,4 2090-T3 сплав алюмінію 1,05 0,823 0,586 0,96 1,44 0,061 -1,302 -0,281 -0,375 0,445 1,285
Див. також Поверхня плинності Критерій плинності Мізеса
Примітки