Метод Ромберга — чисельний метод для оцінки визначеного інтеграла шляхом багаторазового застосування екстраполяції Річардсона до методу трапецій або методу прямокутників. Метод Ромберга є формулою Ньютона-Котса — він обчислює інтеграл у рівновіддалених точках. Інтеграл повинен мати неперервні похідні, хоча досить добрі результати можна отримати, якщо існує лише кілька похідних. Якщо можливо обчислити інтеграл у точках з нерівними відстанями то інші методи, такі як квадратура Гауса та , зазвичай є точнішими.

Метод названий на честь Вернера Ромберга, який опублікував його в 1955 році.

Метод Використовуючи , метод можна індуктивно визначити як де і У нотації big O похибка для становить:

Нульова екстраполяція, , еквівалентна правилу трапецій з точкою; перша екстраполяція, , еквівалентна правилу Сімпсона з точкою. Друга екстраполяція, , еквівалентна з точкою. Подальші екстраполяції відрізняються від формул Ньютона-Котса. Зокрема, подальші екстраполяції Ромберга дуже незначно розширюють правило Буля, змінюючи ваги на співвідношення, подібні до правила Буля. Навпаки, подальші методи Ньютона-Котса дають усе більш відмінні вагові коефіцієнти, що зрештою призводить до великих додатних та від'ємних вагових коефіцієнтів. Це свідчить про те, наскільки інтерполяційні поліноміальні методи Ньютона-Котса високого степеня не збігаються для багатьох інтегралів, тоді як інтегрування Ромберга є більш стійким.

Маркуючи наші наближення як замість , ми можемо виконати екстраполяцію Річардсона з формулою похибки, визначеною нижче: Як тільки ми отримаємо наше наближення , ми можемо позначити їх як .

Коли обчислення функцій є дорогими, може бути кращим замінити поліноміальну інтерполяцію Річардсона раціональною інтерполяцією, запропонованою .

Геометричний приклад Щоб оцінити площу під кривою, правило трапецій застосовують спочатку до одного елемента, потім до двох, потім до чотирьох і так далі.

Після отримання оцінок за правилом трапецій застосовують екстраполяцію Річардсона.

Для першої ітерації дво- та одноелементні оцінки підставляються у формулу ⁠. Ту саму формулу потім використовують для порівняння чотириелементної та двоелементної оцінок, і так далі для наступних, точніших оцінок. Для другої ітерації значення, отримані з першої ітерації, підставляються у формулу . Третя ітерація використовує наступний степінь числа 4: ⁠ — для значень, отриманих на другій ітерації. Цей процес продовжується доти, поки не залишиться лише одна оцінка.

Кількість елементів Оцінка інтеграла Перша ітерація Друга ітерація Третя ітерація

10 216 430 839

Приклад Як приклад, проінтегруємо функцію Гауса від 0 до 1, тобто знайдемо функція помилок erf(1) ≈ . Трикутний масив обчислюється рядок за рядком, і обчислення припиняється, якщо два останні записи в останньому рядку відрізняються менш ніж на 10 − 8. 0,77174333 0.82526296 0.84310283 0.83836778 0.84273605 0.84271160 0.84161922 0.84270304 0.84270083 0.84270066 0,84243051 0,84270093 0,84270079 0,84270079 0,84270079 Результат у правому нижньому куті трикутного масиву точно відповідає показаним цифрам. Примітно, що цей результат отримано з менш точних наближень, отриманих за допомогою правила трапецій у першому стовпці трикутного масиву.

Примітки

Література

Посилання ROMBINT — код для MATLAB (автор: Мартін Каченак) Безкоштовний онлайн-інструмент інтегрування з використанням методів Ромберга, Фокса-Ромберга, Гауса-Лежандра та інших числових методів Реалізація методу Ромберга в SciPy Romberg.jl — реалізація Julia (підтримка довільних факторизацій, а не лише точок)