У теорії груп групи Артіна, також відомі як групи Артіна-Тітса або узагальнені групи кіс, — це сім'я нескінченних дискретних груп, що визначаються простими заданнями. Вони тісно пов'язані з групами Кокстера. Прикладами є вільні групи, вільні абелеві групи, групи кіс та прямокутні групи Артіна-Тітса.

Групи названі на честь Еміля Артіна, завдяки його раннім роботам над групами кіс у 1920-1940-х роках, та , який розробив теорію більш загального класу груп у 1960-х роках.

Означення Задання Артіна-Тітса — це групове задання , де — множина твірних (зазвичай скінченна) та — набір співвідношень Артіна-Тітса, тобто співвідношень вигляду для різних , де обидві частини рівності мають однакову довжину та існує не більше одного співвідношення для кожної пари різних твірних . Група Артіна-Тітса — це група, яка допускає задання Артіна-Тітса. Аналогічно, моноїд Артіна-Тітса — це моноїд, який допускає задання (саме моноїда) Артіна-Тітса.

Групу Артіна-Тітса можна інакше визначити набором твірних і для кожного , натуральне число , що є довжиною слів і таке, що — це відношення, що з'єднує і , якщо такі є. За домовленістю покладемо , якщо нема відношень Позначимо за знакозмінний добуток і довжини , починаючи з (наприклад, , ). Тоді співвідношення Артіна-Тітса мають вигляд

Можна утворити симетричну матрицю з цілих чисел , яка називається матрицею Кокстера даної групи.

Якщо — задання Артіна-Тітса групи Артіна-Тітса , то фактор по , яке одержано шляхом додавання співвідношень для кожного з , є групою Кокстера. Навпаки, якщо є групою Кокстера, що задане відбиттям, то можемо отримати розширення групи Артіна-Тітса шляхом видалення співвідношень . Наприклад, група Коксетера, пов'язана з -групою кіс є симетричною групою всіх перестановок .

Приклади

є вільною групою на множині ; у цьому випадку для всіх . є вільною абелевою групою на множині ; у цьому випадку для всіх . є групою кіс; у цьому випадку при та при .

Загальні властивості Моноїди Артіна-Тітса придатні для на основі дослідження їх співвідношень подільності та добре вивчені:

Моноїди Артіна-Тітса є скорочувальними, і вони допускають найбільші спільні дільники та умовні найменші спільні кратні (найменше спільне кратне існує завжди при існуванні спільного кратного). Якщо є моноїдом Артіна-Тітса та є асоційованою групою Кокстера, то існує (теоретико-множинний) переріз з в , а також кожен елемент допускає виразний розклад на послідовність елементів за образом .

Для загальних груп Артіна-Тітса відомо дуже мало результатів. Зокрема у загальному випадку залишаються відкритими такі основні питання:

— розв'язання та , які, як передбачається, є розв'язними,

— визначення скруту групи, яке вважається тривіальним,

— визначення центру групи — який, як передбачається, є тривіальним або циклічною у випадку, коли група не є прямим добутком («незвідний випадок»),

— визначення когомології — зокрема, розв'язання задачі , тобто знаходження ациклічного комплексу, фундаментальна група якого вважається групою.

Часткові результати, що стосуються окремих підсімей, зібрані нижче.

Групи Артіна-Тітса є незліченними. У групі Артіна-Тітса , єдине співвідношення, що з'єднує квадрати елементів є співвідношення , якщо (Джон Крісп та Луїс Паріс). Для кожного задання Артіна-Тітса , моноїд Артіна-Тітса, представлений як вкладається в групу Артіна-Тітса, представлену (Паріс). Будь-який (скінченно породжений) моноїд Артіна-Тітса допускає скінченну сім'ю Гарсіда (Метью Дайер та Крістоф Холвег). Внаслідок чого існування спільних правих кратних у моноїдах Артіна-Тітса є розв'язним, а редукція мультидробів є ефективною.

Окремі класи груп Артіна-Тітса

Групи Артіна-Тітса сферичного типу

Група Артіна-Тітса має сферичний тип, якщо його група Кокстера є скінченною. Класифікуються за типами діаграми Динкіна, включаючи серії , , , та шість виняткових груп , , , , , . У випадку групи Артіна-Тітса сферичного типу вона є групою часток моноїда. Кожна з вищезгаданих задач розв'язується для сферичних груп Артіна-Тітса: задачі на слова та спряження розв'язні, їхній скріт тривіальний, центр групи циклічний у незвідному випадку, а когомологія визначена (П'єром Делінем, геометричними методами, та , комбінаторними методами). Чиста група Артіна-Тітса сферичного типу може бути представленя як фундаментальна група в . Групи Артіна-Тітса сферичного типу є (Рут Чарні). Використовуючи сучасну термінологію, групою Артіна-Тітса є групою Гарсіда.

Прямокутні групи Артіна

Група Артіна-Тітса називається прямокутною, якщо всі коефіцієнти матриці Кокстера дорівнюють або , або , тобто всі співвідношення є комутаційними . Для такого класу груп Артіна-Тітса будь-який граф з вершинами, позначені числами , визначає матрицю , для якого , якщо вершини з'єднані ребром графа , та в протилежному випадку. Клас прямокутних груп Артіна-Тітса включає вільні групи скінченного порядку, що відповідають графу без ребер, а також скінченно породжені вільні абелеві групи, що відповідають повному графу. Будь-яка прямокутна група Артіна-Тітса рангу може бути побудована як прямокутної групи Артіна-Тітса рангу з вільними добутками та прямими добутками як крайні випадки. Узагальнення цієї конструкції називається графовим добутком груп. Прямокутна група Артіна-Тітса є окремим випадком цього добутку, де кожна вершина/операнд графового добутку є вільною групою рангу один (нескінченна циклічна група). Задача слов та спряженості прямокутної групи Артіна-Тітса є розв'язними, перша з них — за лінійний час, група не має скруту, і існує явна клітинна скінченна (Джон Крісп, Едді Годелл і Берт Віст). Будь-яка прямокутна група Артіна-Тітса діє вільно та кокомпактно на скінченновимірному кубічному комплексі , його «комплекси Сальветті». Можна використовувати прямокутні групи Артіна-Тітса та їхні комплекси Сальветті для побудови груп із заданими (Младен Бествіна та Ноель Брейді) та (Ієн Лірі).

Групи Артіна-Тітса великого типу

Група Артіна-Тітса (і група Кокстера) є групою великого типу, якщо для всіх твірних ; кажуть, що група має надвеликий тип, якщо для всіх твірних . Групи Артіна-Тітса надвеликого типу придатні для теорії малих скорочень. Групи Артіна-Тітса надвеликого типу не мають скруту та мають розв'язну проблему спряженості ( та Пол Шупп). Групи Артіна-Тітса надвеликого типу є біавтоматичними (Девід Пайфер). Групи Артіна великого типу є коротколексними автоматичними групами з регулярними геодезичними лініями (Дерек Холт та Сара Ріс).

Інші типи

Група Артіна-Тітса має флаговно-комплексний тип, якщо для будь-якого такого, що для всіх група має сферичний тип. Такі групи кокомпактно діють на CAT(0), внаслідок чого можна знайти раціональну нормальну форму для їхніх елементів і вивести розв'язок задачі слів (Джо Альтобеллі та Чарні). Група Артіна-Тітса має афінний тип, якщо відповідна група Кокстера є афінною. Вони відповідають розширеним діаграмам Динкіна чотирьох нескінченних сімей при , , при та при , а також п'ятьох спорадичних типів , , , , . Групи Артіна-Тітса афінного типу є евклідовим типом: асоційована група Кокстера діє геометрично на евклідовому просторі. Внаслідок чого їхні центри тривіальні, а задача слів розв'язана (Джон Маккеммонд та Роберт Салвей). Також була розв'язана 2019 року для груп афінного типу (Маріо Сальветті та Джованні Паоліні).

Див. також

Вільний частково комутативний моноїд Артінівська група (не пов'язане поняття) Некомутативна криптографія Елементарна абелева група

Посилання

Додаткова інформація