Рівняння Чандрасехара-Педжа описують хвильову функцію масивних частинок зі спіном 1/2, яка була отримана в результаті пошуку сепарабельного розв'язку рівняння Дірака в метриці Керра або метриці Керра-Ньюмена . У 1976 році Субрахманян Чандрасехар показав, що сепарабельний розв'язок можна отримати з рівняння Дірака в метриці Керра . Пізніше Дон Пейдж поширив цю роботу на метрику Керра-Ньюмена, яка застосовується до заряджених чорних дір. У своїй статті Пейдж зазначає, що Н. Туп також отримав свої результати незалежно, як йому повідомив Чандрасехар. До речі, вирішуючи цю задачу, Чандрасехар вперше відкрив сепарабельний розв'язок рівняння Дірака в плоскому просторі-часі в сплющених сфероїдальних координатах .
Припускаючи нормальний розклад виду (де m — азимутальна компонента кутового моменту частинки, яка набуває напівцілих значень, а ω — частота) для часової та азимутальної компонент сферичних полярних координат
(r,θ,ϕ), Чандрасекар показав, що чотири спінорні компоненти хвильової функції Дірака ,
можна виразити як добуток радіальної та кутової функцій. Розділення змінних здійснюється для функцій , , і (з – кутовий момент на одиницю маси чорної діри), як у
Кутові рівняння Чандрасекара-Педжа Кутові функції задовольняють систему зв’язаних рівнянь на власні значення,
де — маса спокою частинки (вимірюється в одиницях, тобто вона є оберненою величиною до довжини хвилі Комптона ), та
Усунення між двома рівняннями отримуємо
Функція ( S_+ ) задовольняє спряжене рівняння, яке можна отримати з наведеного вище рівняння заміною на . Граничні умови для цих диференціальних рівнянь другого порядку полягають у тому, що функції (і ) мають бути регулярними при та . Представлена тут задача на власні значення в загальному випадку потребує чисельного інтегрування для свого розв’язання.
Властивості та граничні рішення Задача на власні значення залежить від двох неперервних параметрів — aω та aμ. Для заданих значень aω і aμ власні стани характеризуються трьома дискретними величинами: кутовим моментом частинки j=1/2,3/2,…, його азимутальною компонентою m=−j,−j+1,…,j−1,j, а також парністю P=±1.
Тоді елементи спектра можна явно позначити як
Власне значення має фізичну інтерпретацію як квадратний корінь з узагальненого квадрата повного імпульсу. Знання спектру в позитивному квадранті достатньо для визначення повного спектру, як це випливає з симетрії:
Необертова чорна діра ( чорна діра Шварцшильда ) Задачу можна розв'язати явно. Власні значення та власні функції задаються як
де – це пов'язані поліноми Лежандра, а
Особливий випадок Для окремого випадку, коли , розв'язки наведено в
де
Коли , у нас є
де
Радіальні рівняння Чандрасекара-Педжа Для зручності запишемо Радіальні рівняння задані Chandrasekhar, S.,(1983). The mathematical theory of black holes. Clarenden Press, Section 104
де – маса чорної діри,
і Усунення з двох рівнянь отримуємо
Функція задовольняє відповідне комплексно-спряжене рівняння.
Зведення до одновимірної задачі розсіювання Задача розв'язання радіальних функцій для певного власного значення кутових функцій можна звести до задачі відбиття та пропускання, як в одновимірному рівнянні Шредінгера ; див. також рівняння Редже-Вілера-Церіллі . Ми отримуємо рівняння
де потенціали Чандрасекара-Педжа визначені в
і , є координатою черепахи, а Функції визначаються як , де
На відміну від потенціалів Редже-Вілера-Зеріллі, потенціали Чандрасекара-Педжа не звертаються до нуля для , але має поведінку
В результаті, відповідні асимптотичні поведінки для як стає
Посилання