Лагранжеві та ейлерові координати — два різні підходи до опису потоку рідини, у яких системи координат пов'язані з рухомою частинкою рідини або з нерухомою лабораторною системою відліку відповідно. Названі на честь Жозефа-Луї Лагранжа та Леонарда Ейлера.
Лагранжів опис потоку розглядає рух рідини таким чином, що спостерігач стежить за окремою частинкою рідини (пакунком плину), яка рухається в просторі. Побудова графіка положення окремої частинки від часу дає лінію течії цієї частинки. Це можна уявити як спостереження рідини з човна, який дрейфує за течією.
Ейлерів опис потоку розглядає рух рідини в певних точках простору, через які рідина протікає з плином часу. Це можна уявити як спостереження потоку рідини з нерухомого місця на березі річки.
Ці підходи використовують і в обчислювальній гідродинаміці, де «ейлерові» моделювання застосовують фіксовану сітку, тоді як «лагранжеві» (наприклад, безсіткові моделювання) містять вузли моделювання, які можуть рухатися разом з .
Історія Леонард Ейлер увів обидва описи у двох працях, написаних 1755 року та 1759 року. Жозеф-Луї Лагранж 1760 року досліджував рівняння руху у зв'язку з принципом найменшої дії, а потім у трактаті з механіки рідин 1781 року і в книзі «Аналітична механіка». У цій книзі Лагранж починає з лагранжевого опису, але пізніше переходить до ейлерового опису.
Опис В ейлеровому описі поле задається як функція положення x і часу t. Наприклад, задається функцією
Цей формалізм широко застосовують в метеорології, океанології та геофізичній гідродинаміці, де великомасштабні течії найзручніше описувати як поля, що змінюються в часі у фіксованих точках простору.
Натомість у лагранжевому описі простежують рух окремих частинок рідини в часі. Частинки рідини позначають деяким (незалежним від часу) векторним полем x0. Часто x0 вибирають як положення центра мас частинок у деякий початковий момент часу t0. Такий вибір дає змогу враховувати можливі зміни форми частинки з часом, тому центр мас є зручною параметризацією швидкості течії u цієї частинки. У лагранжевому описі течію задає функціяяка визначає положення частинки з міткою x0 у момент часу t.
Обидва описи пов'язані співвідношенням:оскільки обидві частини рівняння задають швидкість частинки з міткою x0 у момент часу t.
У межах обраної системи координат x0 та x називають відповідно лагранжевими координатами та ейлеровими координатами течії.
Субстанціональна похідна Лагранжів та ейлерів описи кінематики і динаміки поля течії пов'язані через (яку також називають лагранжевою похідною, конвективною похідною, матеріальною похідною або похідною за частинкою).
Нехай задано поле течії u, а також деяке довільне поле з ейлеровим описом F(x, t). Тоді можна поставити питання про повну швидкість зміни F, яку відчуває певна частинка потоку. Її можна обчислити якде ∇ позначає оператор набла за координатами x, а оператор u⋅∇ застосовується до кожної компоненти F. Це означає, що повна швидкість зміни функції F під час руху частинок рідини в полі течії, заданому його ейлеровим описом u, дорівнює сумі локальної швидкості зміни та конвективної швидкості зміни F. Це є наслідком правила диференціювання складеної функції, оскільки ми диференціюємо функцію F(X(x0, t), t) за t.
Закони збереження для одиниці маси мають лагранжеву форму, яка разом із законом збереження маси породжує ейлерові закони збереження; натомість, коли частинки рідини можуть обмінюватися певною величиною (наприклад, енергією або імпульсом), існують лише ейлерові закони збереження.
Примітки
Посилання
Bennett, A. (2006). Lagrangian Fluid Dynamics. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press.