У геометрії групи многогранників — це групи симетрії платонових тіл.
Групи Існує три групи многогранників:
Тетраедрична група 12-го порядку, група обертової симетрії правильного тетраедра. Ізоморфна A4. Класи спряженості T: тотожність 4 × поворот на 120°, порядок 3, за годинниковою стрілкою 4 × поворот на 120°, порядок 3, проти годинникової стрілки 3 × поворот на 180°, порядок 2 порядку 24, група обертової симетрії куба та правильного октаедра. Ізоморфна S4. Класи спряженості O: тотожність 6 × поворот на ±90° навколо вершин, порядок 4 8 × поворот на ±120° навколо центрів трикутників, порядок 3 3 × поворот на 180° навколо вершин, порядок 2 6 × поворот на 180° навколо середин ребер, порядок 2 Ікосаедрична група 60-го порядку, група обертової симетрії правильного додекаедра та правильного ікосаедра. Ізоморфна A5. Класи спряженості I: тотожність 12 × поворот на ±72°, порядок 5 12 × поворот на ±144°, порядок 5 20 × поворот на ±120°, порядок 3 15 × поворот на 180°, порядок 2
Ці симетрії подвоюються до 24, 48, 120 відповідно для повних рефлективних груп. Симетрії відбиття мають відповідно 6, 9 та 15 дзеркал. Октаедричну симетрію [4,3] можна розглядати як об'єднання 6 дзеркал тетраедричної симетрії [3,3] та 3 дзеркал діедричної симетрії Dih2 [2,2]. Піритоедрична симетрія — це ще одне подвоєння тетраедричної симетрії.
Класи спряженості повної тетраедричної симетрії, , такі:
тотожність 8 × поворот на 120° 3 × поворот на 180° 6 × відбиття відносно площини, яка проходить через дві осі обертання 6 × дзеркальний поворот на 90°
Класи спряженості піритоедричної симетрії, Th, включають класи T, причому два класи з 4 об'єднані, і кожен з інверсією:
тотожність 8 × поворот на 120° 3 × поворот на 180° інверсія 8 × відхилення ротора на 60° 3 × відображення в площині
Класи спряженості повної октаедричної групи, , такі:
інверсія 6 × дзеркальний поворот на 90° 8 × дзеркальний поворот на 60° 3 × відбиття відносно площини, перпендикулярної до чотирикратної осі 6 × відбиття відносно площини, перпендикулярної до двократної осі
Класи спряженості повної ікосаедричної симетрії, , включають також кожен з інверсією:
інверсія 12 × дзеркальний поворот на 108°, порядок 10 12 × дзеркальний поворот на 36°, порядок 10 20 × дзеркальний поворот на 60°, порядок 6 15 × відбиття, порядок 2
Групи хіральних многогранників +Групи хіральних многогранниківНазва(Орб.)ПорядокАбстрактна структураТочкиобертання#степіньДіаграмиОртогональнаСтереографічніT(332)[3,3]+12A443 32Th(3*2)[4,3+]24A4 × C2433*2O(432)[4,3]+24S4344362I(532)[5,3]+60A565103152
Повні групи многогранників +Full polyhedral groupsВейльШенф.(Орб.)ПорядокАбстрактна структураЧисло Коксетера(h)Дзеркала(m)Діаграми віддзеркаленьОртогональнаСтереографічніA3Td(*332)[3,3]24S446B3Oh(*432)[4,3]48S4 × C283>6H3Ih(*532)[5,3]120A5 × C21015
Див. також Список груп сферичної симетрії
Джерела Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. § 3.5, pp. 46–47)
Посилання