Число Маркова — додатне ціле число , або , частина розв'язку діофантового рівняння Маркова
яке вивчав Андрій Марков .
Перші кілька чисел Маркова
1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, …
з'являються як координати марковських трійок: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), …
Існує нескінченно багато чисел Маркова та марковських трійок.
Дерево Маркова
Існує два простих способи отримати нову марковську трійку зі старої (x, y, z). По-перше, можна переставити 3 числа x, y, z, зокрема, можна нормалізувати трійки так, щоб x ≤ у ≤ z. По-друге, якщо (x, у, z) є марковською трійкою, то (x, y, 3xy − z). Подвійне застосування цієї операції повертає ту саму потрійну операцію, з якої вона розпочалася. Об'єднання кожної нормалізованої марковської трійки з 1, 2 або 3 нормалізованими трійками, які можна отримати з цієї, дає графік, що починається з (1,1,1), як на діаграмі. Цей граф є зв'язним; іншими словами, кожну марковську трійку можна з'єднати з послідовністю цих операцій. Якщо почати, наприклад, з то отримаємо трьох її сусідів , та у дереві Маркова, якщо z встановлено на 1, 5 та 13 відповідно. Наприклад, якщо почати з та поміняти місцями y та z перед кожною ітерацією перетворення, то в результаті буде виведено марковські трійки з числами Фібоначчі. Починаючи з тієї ж трійки та обмінюючи x та z перед кожною ітерацією, отримуємо трійки з числами Пелля.
Усі числа Маркова в областях, суміжних із областю 2, є числами Пелля з непарними індексами (або числами n такими, що 2n² − 1 — квадрат, ), а всі числа Маркова в областях, суміжних з областю 1, є числами Фібоначчі з непарними індексами (). Таким чином, існує нескінченно багато марковських трійок виду
де — k-те число Фібоначчі. Аналогічно, існує нескінченно багато марковських трійок виду
де — k-те число Пелля. lists Markov numbers that appear in solutions where one of the other two terms is 5.
Інші властивості Окрім двох найменших сингулярних трійок (1, 1, 1) та (1, 1, 2), кожна марковська трійка складається з трьох різних цілих чисел.
Гіпотеза єдиності, як зазначив 1913 року Фробеніус, стверджує, що для заданого числа Маркова c існує рівно один нормалізований розв'язок, найбільшим елементом якого є c: було заявлено про доведення цієї гіпотези, але жодне з них не є правильним. розглядає кілька слабших варіантів гіпотези єдиності. 2020 року Рабідо та Шиффлер довели його гіпотезу про фіксований чисельник, тоді як гіпотезу про фіксований знаменник та гіпотезу про фіксовану суму довели 2023 рокуі Лі, Лі, Рабідо та Шиффлер.
Жоден із простих дільників числа Маркова не дорівнює 3 за модулем 4, що означає, що непарне число Маркова має вигляд . Крім того, якщо — число Маркова, то жоден із простих дільників не дорівнює 3 за модулем 4. Парне число Маркова на 2 більше, ніж число, кратне 32.
У своїй статті 1982 року висунув гіпотезу, що n-те число Маркова асимптотично задається формулою
Похибку зображено нижче.
Більш того, він зазначив, що , наближення початкового діофантового рівняння, еквівалентне , де . Гіпотезу довели 1995 року Грег Макшейн та , скориставшись методами гіперболічної геометрії.
За числом Маркова можна розрахувати n-те число Лагранжа за формулою
Числа Маркова — це суми (неунікальних) пар квадратів.
Теорема Маркова Марков показав, що якщо
є невизначеною з дійсними коефіцієнтами та дискримінантом , то є цілі числа x, y, для яких f набуває ненульового значення, модуль якого не перевищує
якщо f не є марковською формою: сталою, помноженою на форму
,
де
а (p, q, r) — марковська трійка.
Матриці Нехай — функція сліду над матрицями. Якщо та належать до SL22(), то
так що якщо , то
Зокрема, якщо та також мають цілі елементи, то , та є марковською трійкою. Якщо ( — одинична матриця), то , тому, симетричніше, якщо , і належать до SL22(), , а комутатор будь-яких двох із них має слід , то їхні сліди, поділені на , утворюють трійку Маркова.
Примітки
Джерела