Досконале число

У теорії чисел досконале число  — натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), , тому 6  — досконале число.

Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається , тому досконале число  — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число  — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: , де  — функція суми дільників числа . Наприклад, 28  — досконале, оскільки .

Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким є парним досконалим числом тоді, коли , і  — прості числа. Такі називаються . Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку формуCaldwell, Chris, «A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime». Цей результат відомий як .

Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел  — 6, 28, , (див. послідовність .

Історія

Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо  — просте число, то  — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е.Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol.~I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p.~4. Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд , де  — просте число.«Perfect numbers». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Retrieved 9 May 2018У «Вступі в арифметику» (глава 16) він стверджує, що є акуратний і безвідмовний метод, який описує кожне досконале число і не описує жодне інше, що здійснюється вказаним ним чином, який є еквівалентним знаходженню трикутних чисел за допомогою простих чисел Мерсенна Здається, він не знав, що також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28  — досконалі. До Філона приєднались ОрігенCommentary on the Gospel of John 28.1.1-4, with further references in the Sources Chrétiennes edition: vol.~385, 58-61 і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19).http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05\_philonic\_arithmological\_exegesis.pdf Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6  — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними.Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), pp. 328—329. Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями  — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком.Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. See David Eugene Smith (1925). History of Mathematics: Volume II. New York: Dover. p. 21. ISBN 0-486-20430-8. У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 10 Pickover, C (2001). Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. p. 360. ISBN 0-19-515799-0 Peterson, I (2002). Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. p. 132. ISBN 88-8358-537-2

Парні досконалі числа

Див. також: .

Евклід довів, що є досконалими, коли є простим (Начала, твердження IX.36).

Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:

при :  

при :  

при :  

при :  

Прості числа вигляду , відомі як , названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб було простим, необхідно щоб і було простим. Але це не достатня умова; наприклад, не є простимУсі дільники числа конгруентні одиниці по модулю . Наприклад, . І 23, і 89 дають остачу 1 при діленні на 22. Більш того, якщо є простим числом Софі Жермен (якщо  — теж просте і конгруентне 1 або 7 за модулем 8), то буде дільником числа , що справедливо для , (). Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні  — з 2.610.944 простих чисел менших «Numbers of prime ». Wolfram Alpha. Retrieved 2018-10-28, число є простим лише для 47 з них.

Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд , де  — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале числоO'Connor, John J.;Robertson, Edmund F., «Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають .

Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду відповідаютьGIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 .GIMPS Milestones Report . Retrieved 2018-02-27

Також знайдено п'ять більших досконалих чисел, а саме при =57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933 і 136.279.841, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на жовтень 2024 року відомо 52 простих чисел Мерсенна«GIMPS Home». Mersenne.org. Retrieved 2018-12-21 і, відповідно, 52 парних досконалих чисел (найбільше з яких  — з 82.048.640 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.

Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд , воно ще є -им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до ), а також є -им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є -им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі перших непарних кубів:

Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд , де кожне трикутне число , , після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з , , , Weisstein, Eric W. «Perfect Number». MathWorld Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо , , . Це справедливо для усіх чисел вигляду , де  — непарне число.

Завдяки своїй формі кожне парне досконале число записується у двійковій системі як одиниць, а за ними нулів. Наприклад,

Таким чином парні досконалі числа є .

Кожне парне досконале число також є практичним числом.

Непарні досконалі числа

Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числаDickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 6., з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел. Нещодавно представив , який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існуватиOddperfect.org. Archived 2006-12-29 at the Wayback Machine. Усі досконалі числа також є , а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).

Будь-яке непарне досконале число має задовольняти наступним умовам:

Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). «Odd perfect numbers are greater than 101500» (PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869—1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005 не ділиться на 105<ref>Kühnel, Ullrich (1950). ``Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift (in German). 52: 202—211. doi:10.1007/BF02230691</ref> конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324Roberts, T (2008). «On the Form of an Odd Perfect Number» (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244. має вигляд , де є різними простими числами (Ейлер); (mod 4) (Ейлер); Найменший простий дільник числа менший за ; Grün, O (1952). «Über ungerade vollkommene Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353—354. doi:10.1007/BF01181133 Або , або для деякого ; ;Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). «Improved upper bounds for odd multiperfect numbers». Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353—359Nielsen, Pace P. (2003). «An upper bound for odd perfect numbers». Integers. 3: A14–A22. Retrieved 23 March 2021 ;Zelinsky, Joshua (25 May 2018). «An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers». Integers. 18. arXiv:1706.07009. Bibcode:2017arXiv170607009Z. Retrieved 23 May 2018Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). «On the number of prime factors of an odd perfect number». Mathematics of Computation. 83 (289): 2435—2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «On the radical of a perfect number». New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Retrieved 7 December 2018 Найбільший простий дільник числа більший за Goto, T; Ohno, Y (2008). «Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108»(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859—1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G.doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Retrieved 30 March 2011 і менший за .Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). «On Prime Factors of Odd Perfect Numbers». International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537—1540. doi:10.1142/S1793042112500935 Наступний найбільший простий дільник більший за і менший за .Zelinsky, Joshua (July 2019). «Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number». International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183—1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659Iannucci, DE (1999). «The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand»(PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749—1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Retrieved 30 March 2011. Третій найбільший простий дільник більший за 100.Iannucci, DE (2000). «The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred»(PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867—879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Retrieved 30 March 2011. має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.Nielsen, Pace P. (2015). «Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds»(PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549—2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Retrieved 13 August 2015.