Тео́рія ймові́рностейЙмові́рностей тео́рія // (імові́рностей), тео́рія імові́рності — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Математичним апаратом теорії ймовірності є комбінаторика та теорія міри.
Теорія ймовірностей виникла і спершу розвивалася як прикладна дисципліна (зокрема, для розрахунків в азартних іграх). Пов'язана з іменами Християна Гюйгенса, Блеза Паскаля, П’єра Ферма. Своїм теоретичним обґрунтуванням зобов'язана Якобу Бернуллі, П'єру-Сімону Лапласу, Пафнутію Чебишову, Олександру ЛяпуновуHald, Anders (2003). A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0-471-47129-1. Hald, Anders (1998). A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 0-471-17912-4. Гнєденко Б. В. Нарис з історії теорії ймовірностей // Курс теорії ймовірностей. — К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2010. — 464с. С. 351—428.. Систему аксіом теорії ймовірностей сформулював Андрій КолмогоровКолмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 . Теорія ймовірностей є підґрунтям математичної статистики. Широко вживається для опису й вивчення різноманітних технологічних процесів зважаючи на їх стохастичність.
Історія
Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середньовіччя і перших спроб математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і формулювалися вони в наочних уявленнях. Найперші наукові праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.
Вважають, що вперше Паскаль взявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607—1648), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такимиСтройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1984. — 285 с.:
Скільки разів треба кинути два гральних кубика, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків? Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?
Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма (1601—1665) і послужили приводом для запровадження поняття математичного сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач зайнявся Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679).
Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654—1705). Його праця стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей набула завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович КолмогоровКолмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 .
Значний внесок в теорію ймовірностей зробив українсько-російський математик, академік НАН України, директор Інституту математики НАН України, лауреат премії імені П. Чебишева Гнєденко Борис Володимирович. Йому вдалося довести в остаточному формулюванні локальну граничну теорему для незалежних, однаково розподілених гратчастих доданків (1948 р.). В Україні він почав дослідження непараметричних методів статистики, закінчив роботу над підручником «Курс теорії ймовірностей»Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с. (перше видання — 1949 р.) і монографією «Граничні розподіли для сум незалежних випадкових величин».
Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду та остаточно стала сприйматися як один із розділів математики.
Основні положення
Під випробуванням мається на увазі здійснення запланованих дій і отримання результату за виконання певного комплексу умов S. При цьому припускається, що ці умови є фіксованими; вони або об'єктивно існують, або створюються штучно й можуть бути відтворені необмежену кількість разів.
Прикладами випробування: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону.
Предметом дослідження теорії ймовірності є особливі залежності, притаманні результатам масових однорідних (для яких зберігається комплекс умов S) випробувань. При цьому досліджуються випробування, які характеризуються статистичною регулярністю, хоча наслідки випробувань у кожному випадку можуть бути різними.
Результатом випробування є подія. Події поділяються на: достовірні/правдиві (однозначно відбудуться) та неможливі, сумісні та несумісні, еквівалентні/тотожні та протилежні. Позначаються великими латинськими літерами, наприклад, А, B, С.
Основні об'єкти дослідження теорії ймовірностей: Випадкова подія та її ймовірність. Випадкова величина та її функція розподілу. Випадковий процес та його ймовірнісна характеристика.
Поняття події краще розглядати в теоретико-множинному контексті.
Приклад
Нехай події Ai, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) полягають у тому, що при одному киданні грального кубика випало очок ; подія А — парна кількість очок. Тоді подія А є множиною подій, елементами якої є події A2, A4, A6, тобто A = {A2, A4, A6}. Якщо при реалізації такої сукупності умов S відбулася одна з подій A2, A4, A6, то це означає, що відбулася подія А (випала парна кількість очок). Отже події A2, A4, A6 є реалізаціями, проявами події А.
Дискретні розподіли ймовірностей
Дискретна теорія ймовірностей розглядає події, які виникають у зліченних просторах подій.
Наприклад: кидання гральних кісточок, експерименти із колодою карт, випадкове блукання, і підкидання монет
Класичне визначення: Спочатку ймовірність події визначали як кількість випадків, у яких може трапитися подія, із загальної кількості можливих випадків у рівноймовірнісному просторі подій: див. класичне визначення ймовірності.
Наприклад, якщо подією є те, «що при киданні гральної кістки випаде парне число», то ймовірність становитиме , оскільки 3 грані з 6 мають нанесені на них парні числа, і кожна грань має однакову ймовірність випадання.
Сучасне визначення: Сучасне визначення починається зі скінченної або зліченної множини, що називають простором елементарних подій, яка відповідає множині всіх можливих випадків у класичному розумінні, і яку позначають через . Тоді вважають, що кожному елементові відповідає істинне значення «ймовірності» , яке задовольняє наступним властивостям: ; .
Таким чином, функція ймовірностей набуває значень між нулем та одиницею для кожного значення у просторі подій , а сума за всіма значеннями у просторі подій дорівнює 1. Випадкова подія визначається як будь-яка підмножина простору елементарних подій . Ймовірність події визначають як .
Таким чином, ймовірність повного простору подій дорівнює 1, а ймовірність нульової події дорівнює 0.
Функцію , що відображає точку в просторі подій на значення «ймовірності», називають функцією маси ймовірності, скорочено ФМІ. Сучасне визначення не намагається дати відповідь, як отримувати функції маси імовірності; натомість, воно вибудовує теорію, яка передбачає їхнє існування.
Неперервні розподіли ймовірностей
Неперервна теорія ймовірностей вивчає випадки, що виникають у неперервному просторі подій.
Класичне визначення: При стиканні з неперервним випадком класичне визначення не вибудовується. Див. парадокс Бертрана.
Сучасне визначення: Якщо вихідний простір випадкової величини X є множиною дійсних чисел () або її підмножиною, то існує функція, що називають кумулятивною функцією розподілу ймовірностей (КФР) , і визначають як . Функція F(x) повертає значення ймовірності, що відповідає тому що величина X є меншою або рівною x.
КФР обов'язково задовольняє наступним властивостям: є монотонною не спадною, рівномірно неперервною функцією; ; .
Якщо є абсолютно неперервною, тобто, існує її похідна, а інтегрування її похідної функції знову дає КФР, то кажуть, що випадкова величина X має функцію густини імовірності, або ФГІ, або просто густину
Для множини ймовірність того, що значення випадкової величини X знаходиться в , дорівнює .
У випадку існування функції густини це можливо записати як .
У той час як ФГІ існує лише для неперервних випадкових величин, КФР існує для всіх випадкових величин (в тому числі й для дискретних), що набувають значень в
Ці поняття можливо узагальнити й для багатовимірних випадків у просторі та інших неперервних просторів подій.
Збіжність випадкових величин
У теорії ймовірності існують декілька різних визначень збіжності випадкових величин. Вони перераховані нижче у порядку своєї суворості, тобто, будь-яке наступне поняття збіжності означає виконання збіжності попередніх.
Слабка збіжність Послідовність випадкових величин слабко збігається до випадкової величини якщо їх відповідні кумулятивні функції розподілу збігаються до кумулятивної функції розподілу величини , де є неперервною. Слабку збіжність також називають збіжністю за розподілом.
Найбільш поширена скорочена нотація:
Збіжність за ймовірністю Говорять, що послідовність випадкових величин збігається до випадкової величини за ймовірністю якщо для кожної ε > 0.
Найбільш поширена скорочена нотація:
Сильна збіжність Кажуть, що послідовність випадкових величин збігається до випадкової величини сильно якщо . Сильну збіжність також називають збіжністю за нормою або майже певною збіжністю.
Найбільш поширена скорочена нотація:
Як зрозуміло із назв слабка збіжність є менш строгою ніж сильна збіжність. По суті, сильна збіжність передбачає збіжність за імовірністю, а збіжність за імовірністю передбачає слабку збіжність. Обернене твердження не завжди буде мати місце.
Закон великих чисел