В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.
Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.
Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в .
Випадок числової прямої Для довільної підмножини числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину . Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини , і називається зовнішньою мірою:
Варіанти позначення зовнішньої міри:
Формальне означення Нехай — фіксована універсальна множина.
Зо́внішньою мі́рою називається функція така, що ; .
Нехай — міра, визначена на кільці . Зовнішньою мірою, породженою мірою , називається функція така, що якщо хоч одне таке покриття множини існує; в іншому випадку.
Теорема. Зовнішня міра , породженна мірою , є зовнішньою мірою.
Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. . визначена на . . Перевіримо другий пункт означення. Нехай . Якщо існує така множина з покриття, що , то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що . Візьмемо довільне , за означенням точної нижньої межі . Тоді . Оскільки є зліченним об'єднанням елементів кільця , то .
Властивості зовнішньої міри
Властивості зовнішньої міри : . Дійсно, . (монотонність). Випливає з попередньої властивості при .
- вимірні множини
Нехай — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини . Тоді множини , такі що для всіх виконується рівність:
називаються - вимірними. - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою . Якщо зовнішня міра породжена деякою мірою визначеною на кільці то буде продовженням міри (де визначена вище міра породжена ).
Якщо визначити деяка зовнішня міра породжена мірою то тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра є породжена деякою мірою Халмош П.Р. Теория меры ст. 57.
Див. також Теорема Каратеодорі про продовження міри
Примітки
Література Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953