Нормована алгебра з діленням — така алгебра з діленням над полем дійсних чи комплексних чисел, яка одночасно є нормованою алгеброю з нормою || · ||, що задовільняє умову:
Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме: алгебра дійсних чисел алгебра комплексних чисел алгебра кватерніонів алгебра октав
Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.
Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.
Композитні алгебри
Нормовані алгебри з діленням є частковим випадком композитних алгебр. Які є алгебрами з одиницею та з мультиплікативною квадратичною формою.
Композитна алгебра не завжди є алгеброю з діленням, вона може мати дільники нуля.
Над полем дійсних чисел композитними алгебрами є також: алгебра спліт-комплексних чисел, алгебра спліт-кватерніонів, алгебра спліт-октав.
Див. також Процедура Келі — Діксона Двовимірні гіперкомплексні числа
Джерела