Не плутати з позначенням функції.
У математиці термін функціонал (як іменник) має щонайменше три значення.
У сучасній лінійній алгебрі функціонал — це лінійне відображення з векторного простору у поле його скалярів, тобто — це елемент спряженого простору .
У математичному аналізі (більш загально та історично) функціонал — це відображення з простору у простір дійсних чисел, або іноді і в простір комплексних чисел, з метою встановлення обчислювальних структур простору . Залежно від автора, такі відображення можуть вважатися лінійними чи нелінійними, або визначатись на всьому просторі .
У інформатиці функціонал — це синонім функції вищого порядку, тобто функції, аргументами яких є функції, або повертають іншу функцію як результат.
Ця стаття стосується переважно другого значення, яке виникло на початку 18 століття як частина варіаційного числення. Перше значення, яке є більш сучасним та абстрактним, детально обговорюється в окремій статті під назвою «Лінійна форма». Третє значення детально описано у статті про функції вищого порядку.
Як правило простір — це простір функцій. У цьому випадку функціонал — це «функція від функції», і деякі автори фактично використовують термін «функціонал» для позначання «функція від функції». Однак вимога, що — це простір функцій, не є математично суттєвою, тому це старе означення вже не є поширеним.
Термін походить з варіаційного числення, де необхідно знаходити функцію, яка мінімізує заданий функціонал. Особливо важливим застосуванням у фізиці є знаходження стану системи, що мінімізує .
Властивості
Дуальність
Відображення
є функцією, де є аргументом функції . У той же час відображення функції у значення функції в точці
є функціоналом, тут — параметр.
За умови, що — лінійна функція з векторного простору на скалярне поле, вищевказані лінійні відображення є дуальними один одному, і в функціональному аналізі ці відображення називаються лінійними функціоналами.
Визначений інтеграл Інтеграли, такі як
формують особливий клас функціоналів. Вони відображають функцію у простір дійсних чисел при умові, що функція є дійснозначною.
Приклади включають: площа під графіком додатньо визначеної функції
норма функції на множині
довжина дуги кривої у двовимірному евклідовому просторі
Предгільбертів простір Нехай — предгільбертів простір, — фіксований вектор, тоді відображення є лінійним функціоналом на просторі . Набір векторів такий, що , є векторним підпростором простору , який називається нуль-простором або ядром функціонала, або ортогональним доповненням , що позначається як .
Наприклад, скалярний добуток з фіксованою функцією визначає (лінійний) функціонал на гільбертовому просторі квадратично інтегровних функцій на відрізку :
Локальність
Якщо значення функціонала можна обчислити для невеликих сегментів заданої кривої, а потім підсумувати, щоб знайти загальне значення, то у цьому випадку функціонал називається локальним. В іншому випадку функціонал називається нелокальним. Наприклад, функціонал
є локальним, а функціонал
є нелокальним. Зазвичай, це трапляється тоді, коли інтеграли зустрічаються окремо в чисельнику та знаменнику рівняння. Наприклад, при розрахунках центру мас.
Розв’язування рівнянь Див.\ статтю про функціональні рівняння.
Традиційним є використання функціоналів у функціональних рівняннях, тобто рівняннях між функціоналами: рівняння між функціоналами можна сприймати як «розв'язати рівняння», при цьому розв'язком є функція. У таких рівняннях може бути кілька наборів невідомих. Наприклад, кажуть, що функція аддитивна, якщо вона задовольняє функціональне рівняння
Похідна та інтеграл
Див.\ статтю про варіаційне числення.
Функціональні похідні використовуються в механіці Лагранжа. Це похідні функціоналів, тобто вони несуть інформацію про те, як змінюється функціонал при незначних змінах функції.
Річард Філіпс Фейнман використовував як провідну ідею в інтегралі вздовж траєкторій при формуванні квантової механіки. Таке застосування має на увазі інтеграл взятий над деяким функціональним простором.
Для квантової системи, яка описується гамільтоніаном , для довільної хвильової функції можна побудувати функціонал , який є відображенням простору хвильових функцій на простір дійсних чисел. Відомо, що мінімальне значення цього функціонала досягається для хвильової функції, що описує основний стан квантової системи.
Див. також Лінійна форма; Оптимізація (математика); Тензор.
Джерела